淺析解析幾何中的一題多變

■河南省平頂山市第一高級中學 左永記

淺析解析幾何中的一題多變

■河南省平頂山市第一高級中學 左永記

一題多變的學習實為針對性的訓練與探究解答一類題型的思維過程,對提高我們對這一類題型的認知與理解是非常有幫助的。而解析幾何問題在高考中,無論是主觀題,還是客觀題,都能看見它們的“身影”,因此,解析幾何問題的一題多變,是我們在備考過程中提高正確解答這類問題的手段。

一、以圓的方程為背景求解最值問題

已知實數x,y滿足方程x2+ y2-4x+1=0,求的最大值和最小值。

解：原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心,3為半徑的圓。的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率,故設= k,即y=kx。如圖1所示,當直線y=kx與圓相切時,斜率k取最大值或最小值,此時=,解得k=±3。所以的最大值為3,最小值為-。

圖1

點評:在處理與圓有關的最值問題時,一般要借助幾何性質求最值。應充分考慮圓的幾何性質,并根據代數式的幾何意義,借助數形結合思想求解。形如μ=的最值問題,可轉化為動直線斜率的最值問題。

變式1：本題條件同例1,求y-x的最大值和最小值。

分析：y-x就是直線y=x+b的截距b。

解：y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距,如圖2所示,當直線y=x+b與圓相切時,縱截距b取得最大值或最小值,此時,解得b= -2±6。所以y-x的最大值為-2+6,最小值為-2-。

圖2

點評:形如t=ax+by的最值問題,可轉化為動直線截距的最值問題。

變式2：本題條件同例1,求x2+y2的最大值和最小值。

分析：x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方。

解：如圖3所示, x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方,由平面幾何知識知,在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值。又圓心到原點的距離為所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43,x2+y2的最小值是(2-)2=7-43。

點評:形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題。

圖3

二、雙曲線中漸近線的相關問題

b〉0),且一條漸近線經過點(1,2),則該雙曲線的離心率為____。分析：由雙曲線漸近線方程過點(1,2)可得a與b的關系。

點評:求解圓錐曲線的離心率就是要確定一個關于a,b,c的關系式。

變式2：本題條件同例2,則一條漸近線與實軸所成銳角的值是____。

(1)求橢圓E的方程。

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點,與直線x=-4相交于Q點,P是橢

點評:求漸近線與實軸所成角,要先落實該角的一個三角函數值,而漸近線的斜率就是該角的正切值。因此,我們求解漸近線與實軸所成角時往往是確定漸近線的斜率。

三、圓錐曲線問題中定值與定點問題

點評:存在性問題,先假設存在,推證滿足條件的結論,若結論正確則存在,若結論不正確則不存在。解決存在性問題應注意以下幾點:(1)當條件和結論不唯一時,要分類討論;(2)當給出結論而要推導出存在的條件時,先假設成立,再推出條件; (3)當條件和結論都不知,按常規方法解題很難時,要開放思維,尋找另外的途徑。

變式：本例第(2)問變為:“過橢圓E的右焦點F2且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于P、Q兩點,線段上是否存在點M(m,0)使得若存在,求出實數m的取值范圍;若不存在,請說明理由。”

分析：變式后的問題是一個探究性問題,應當把問題轉換為m的方程或m關于其他某一個變量的函數,落實方程是否有解或函數值m的值域有意義。

點評:解答探究性問題的思路一般都是把問題轉換為方程、不等式或函數,論證方程、不等式是否有解,或確定函數是否滿足某些方面的數學意義。

(責任編輯 王福華)