活用數學基礎 彰顯數學思想

鮑玉秀　張剛

摘 要：中考試題往往是教師教學及學生學習的指針，引領教師的教和學生的學。從本題可以看出教師平時教學要以課本為本，注重基礎，鉆研教材，用活教材，讓學生做到一題多解，形成多題歸一的數學思想。

關鍵詞：學生；知識；數學思想

以2016年淄博中考卷第22題為例：如圖1，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于點D，BC的中點為M，ME∥AD，交BA的延長線于點E，交AC于點F.

（1）求證：AE=AF

（2）求證：BE=（AB+AC）

特色1：重基礎，突出主干知識，注重數學思想方法的考查。

首先，本題以三角形為載體，立足全等與相似等主干知識，把角平分線、平行線、平行四邊形、中點等知識點都融入此題中，是一道綜合性比較強的題目。其次，題目采取降低入口，兩問，層層遞進，每一問都彰顯了數學思想，讓不同層次的學生都有收獲。

特色2：注重通性通法，彰顯思維個性。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出的基本理念“經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法。還可以恰當地引導學生探索證明同一命題的不同思路和方法，進行比較和討論，激發學生對數學證明的興趣，發展學生思維的廣闊性和靈活性。”在此題第（2）問中對這一理念的理解可以說是一覽無余。第（2）問方法多種多樣，我總結了幾種思路，與同行共享。

證法1：外延型（1）如圖2延長BA，在BA的延長線上截取AG=AC，（做平行證線段相等或做線段相等證平行）連接GC，則∠AGC=∠ACG，以證得∠BAD=∠AGC，AD∥GC。所以EM∥GC，可得BE=EG=FC，所以BE=（AB+AC）；

證法2：內截型，如圖2過M做MN∥CF（或者去AB的中點）

△AEF～△ENM，可以證得NE=NM，因為MN∥AC，M為中點，MN=AC，BN=AB，所以BN+NE=AB+AC=BE；

此方法做的輔助線利用了平時教學中相似部分的“A”字形圖形的構造，這是學習相似時最基礎的知識，這值得老師去反思，教學時我們要回歸課本，關注典型例題。

證法3：如圖4，不做輔助線：充分利用AE與AF夾在AD∥EM之間的相等線段。

因為AD∥EM，所以DM：BM=AE：EB，DM：CM=AF：FC。因為BM=CM，所以FC=EB。

所以BE=（AB+AC）；

證法4：如圖5，全等法+平行四邊形：過B點作BG∥EM，過C點作CG⊥BG與EM的延長線FN交于N點則FN為CG的垂直平分線，∴GF=FC，∠GFC=∠CFN，可以證得∠GFC=∠E，得BE∥GF，則四邊形BGFE為平行四邊形，則BE=CF，所以BE=（AB+AC）。

本題證法的多樣性體現了不同學生對問題的不同理解，有效地考查了學生對所學知識的理解能力和解決問題的能力，體現了對基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動的綜合考查，因此我們在平時教學中要積極引導學生，注重思想方法的總結，重視通性通法的落實，尊重學生的個性，讓學生享受數學活動帶來的樂趣。

在幾何教學教學中，要注重基本概念、基礎知識、基本技能及基本圖形的教學，挖掘幾何概念隱含的創新細胞，讓學生體驗基本圖形的形成過程（例如三線八角、三線合一、“A、X”形等基本圖形），這樣既激發了學生的學習意志，又培養了學生的探究能力、創新能力，長期下去，學生就會對幾何圖形有自己的認識，還能自己總結出基本圖形，讓學生感受到數學模型思想的價值。

參考文獻：

[1]滲透數學思想，感知數學魅力[J].安永平學周刊，2015（21）.

[2]徐德彬.注重數學思想方法把握數學發展脈絡[A].新世紀中國教育發展論壇（第二卷）[C]，2007.

編輯 李建軍