巧用數(shù)學(xué)方法解決實際問題

游詠松

小明的媽媽買了一件重7.7克的金銀合金飾品，這塊合金中含金銀各多少克？這可讓小明的媽媽犯愁了，該怎么辦呢？

解決這個問題并不難，先讓我們來看一道比較熟悉的問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”——《孫子算經(jīng)·雞兔同籠》.

這里有兩個相等關(guān)系.相等關(guān)系1：“上有三十五頭”指雞、兔共有35只，即“雞的只數(shù)+兔的只數(shù)=35（只）”；相等關(guān)系2：“下有九十四足”指雞的腿與兔的腿共有94條，即“雞腿的條數(shù)+兔腿的條數(shù)=94（條）”.我們可以用數(shù)學(xué)式子表達出“雞兔同籠”問題中的相等關(guān)系，設(shè)雞有x只，由相等關(guān)系1得兔有（35-x）只，可以得到關(guān)于x的方程：2x+4（35-x）=94.解得x=23，35-x=12.

換一種思路來看，設(shè)雞有x只，兔有y只，由相等關(guān)系1可以得到關(guān)于x、y的方程：x+y=35，由相等關(guān)系2可以得到關(guān)于x、y的方程：2x+4y=94.解該方程組輕易可得答案.

其實兩種解法完全相同，第一種解法是在設(shè)未知數(shù)時利用其中一個相等關(guān)系表示出另一個未知數(shù)，再根據(jù)另一個相等關(guān)系列出一元一次方程；第二種解法是分別利用兩個相等關(guān)系列出二元一次方程組，再解二元一次方程組.

我們知道：方程（組）是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型.從實際問題到數(shù)學(xué)問題，再從數(shù)學(xué)問題到列出方程（組），正確列出方程（組）的關(guān)鍵在于弄清題意，恰當?shù)卦O(shè)未知數(shù)，找出問題中的相等關(guān)系.

聰明的小明查閱資料發(fā)現(xiàn)：金放在水里稱重量減少[119]，銀放在水中稱重量減少[110].小明將該合金在水中稱發(fā)現(xiàn)減少了0.5克.小明受到“雞兔同籠”問題的啟發(fā)，仔細觀察，發(fā)現(xiàn)媽媽的“金銀合金飾品”問題只是一個特殊的“雞兔同籠”問題.但特殊的地方是，這里不是假設(shè)整塊合金全是金或銀，而是假設(shè)金和銀一樣重量減少[110].如此可得算式[7.7×110-0.5]÷[110-119]，不難得出金有5.7克，銀就有7.7-5.7=2（克）.

換一種思路，因為這道題中有相等關(guān)系：金減少的重量+銀減少的重量=0.5克，所以可以列一元一次方程來解決.設(shè)此合金中有金x克，則銀有（7.7-x）克.由題意得一元一次方程[119]x+[110]（7.7-x）=0.5，解方程得x=570，則金有5.7克，銀有7.7-5.7=2克.

事實上，這道題中有兩個相等關(guān)系，相等關(guān)系1：金減少的重量+銀減少的重量=0.5克；相等關(guān)系2：金的重量+銀的重量=7.7克.這樣就可以用二元一次方程組來解決.設(shè)該合金中有金x克，有銀y克.由題意，得二元一次方程組：[x+y=7.7，119x+110y=0.5.]解之，得[x=5.7，y=2，]則金有5.7克，銀有2克.

由此可見，生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)很有用吧！