善學(xué)多思 活學(xué)活用

張偉

一、優(yōu)化解題方法，提高解題效率

例1 求二元一次方程x+3y=7的正整數(shù)解.

【分析】二元一次方程（組）的每一個(gè)解，都是一對(duì)命運(yùn)共同體，需用大括號(hào)聯(lián)立起來，彼此分割不得.我們利用枚舉法可以發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的解有無數(shù)多個(gè)，所以一元二次方程也被稱作不定方程.我們可以通過限制屬性——正整數(shù)解得到有限個(gè)解.

【答案】[x=4，y=1，]或[x=1，y=2.]

【延伸】要求一元二次方程4x+3y=32的正整數(shù)解，先確定哪個(gè)值更簡便呢？若兩個(gè)值不相上下，有沒有更佳途徑？在這里我們可以先用含其中一個(gè)字母的代數(shù)式表示另一個(gè)字母，有兩種途徑：①y=[323]-[43x]；②x=8-[34y]，從而求出對(duì)應(yīng)的值.我們可以發(fā)現(xiàn)途徑②更簡便，因?yàn)槿魓是正整數(shù)，y必須是4的倍數(shù)，這樣，y可以從4開始代入求值，嘗試3次即可，而且計(jì)算方便.

二、代入加減哪家好，方便才是真的好

例2 用代入消元法解方程組[2x+3y=50，x-y=-5.]

【分析】二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組的解，求方程組的解的本質(zhì)是化“二元”為“一元”，最常見的方法有代入消元法或加減消元法.使用代入法時(shí)，從方程組中選擇一個(gè)字母系數(shù)比較簡單的方程先進(jìn)行變形，用含有x（或y）的代數(shù)式去表示y（或x），即變成y=ax+b或x=ay+b的形式，然后將其代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)元，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元一次方程.這里需注意，不能代入原方程中.

【答案】[x=7，y=12.]

例3 解方程組[3x+5y=25，①4x+3y=15. ②]

【分析】通過嘗試我們不難發(fā)現(xiàn)代入法固然可以使用，但計(jì)算較繁瑣.我們可以用①×3，②×5，將①②轉(zhuǎn)化成含相同字母系數(shù)的兩個(gè)方程，然后再將兩個(gè)新的方程相減，消去y.

【答案】[x=0，y=5.]

【點(diǎn)評(píng)】解方程組時(shí)，應(yīng)先觀察未知數(shù)的系數(shù)的特點(diǎn)，如果未知數(shù)系數(shù)中有1或-1，可以優(yōu)先采用代入消元法；如果同一未知數(shù)系數(shù)絕對(duì)值相等，可以采用加減消元法，但這只能解決少部分的方程組.更多的時(shí)候需要我們開動(dòng)腦筋，通過對(duì)方程進(jìn)行變形，從而轉(zhuǎn)化為我們熟悉的局面，如果出現(xiàn)同未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系或較復(fù)雜的情形時(shí)，宜用加減消元法.解方程組時(shí)萬變不離其宗的是將“多元”轉(zhuǎn)為“一元”，達(dá)到化生為熟的目的.

三、二元一次方程組，解決問題的法寶

例4 上網(wǎng)流量、語音通話是手機(jī)通信消費(fèi)的兩大主體.日前，某通信公司推出消費(fèi)優(yōu)惠新招——“定制套餐”.消費(fèi)者可根據(jù)實(shí)際情況自由定制每月上網(wǎng)流量與語音通話時(shí)間，并按照二者的階梯資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)繳納通信費(fèi).下表是流量與語音的階梯定價(jià)標(biāo)準(zhǔn).

小提示：階梯定價(jià)收費(fèi)計(jì)算方法，如600分鐘語音通話費(fèi)=0.15×500+0.12×（600-500）=87元.

（1）甲定制了600MB的月流量，話費(fèi)48元；乙定制了2GB的月流量，花費(fèi)120.4元，求a，b的值.（注：1GB=1024MB）

（2）甲的套餐費(fèi)用為199元，其中含600MB的月流量；丙的套餐費(fèi)用為244.2元，其中包含1GB的月流量.二人均定制了超過1000分鐘的每月通話時(shí)間，并且丙的語音通話時(shí)間比甲多300分鐘，求m的值.

【分析】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題目中所包含的等量關(guān)系，列出符合題意的方程.列方程時(shí)需注意“階梯”，不要重復(fù)計(jì)費(fèi).

【答案】（1）a=0.15，b=0.05；（2）m的值是0.08.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于相對(duì)復(fù)雜的問題，同學(xué)們可以用列表或示意圖幫助自己厘清問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，從而有效地列出方程組解決問題.

親愛的同學(xué)們，通過以上的學(xué)習(xí)、總結(jié)，你是不是對(duì)“二元一次方程組”的學(xué)習(xí)更有信心呢？希望大家都能擁有一雙智慧的眼睛，養(yǎng)成從多個(gè)角度思考問題的習(xí)慣，人人都能享受到利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的樂趣.

（作者單位：江蘇省鹽城市初級(jí)中學(xué)）