初中數學因式分解規律化教學探討

陳飛龍

【摘要】 本文在初中數學因式分解疑難點透析基礎上，緊扣因式分解方法，對因式分解規律化教學進行探討，總結出一套行之有效的方法，提高課堂教學效果。

【關鍵詞】 因式分解 規律化教學 提公因式法 公式法 綜合化

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）06-133-010

因式分解有什么意義呢？為什么要進行因式分解呢？因式分解其實是整式乘法的逆運算，是分式約分、化簡的基礎，是一些日常簡便運算的一種重要思路……既然因式分解這么重要，我們在教學過程中就不能掉以輕心，必須認真對待。

一、提公因式法分解因式

什么是公因式？我們通常把多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式。在因式分解的過程中如何找準、找全公因式？找到之后又如何去分解因式？

勿庸置疑，若一個多項式中各項系數為1或-1的，找起來是很容易的。如ab+bc的公因式是b；x3y-x2y的公因式是x2.若多項式中各項系數并不是1或-1的，那還要找各項數字因數的最大公約數來充當公因式的一部分因數。如：24a2b+36ab2c的公因式是6ab，這是因為24與36的最大公約數是6；24a2b與36ab2c這兩項中，以a為相同底數的冪的最低次數是1，以b為相同底數的冪的最低次數是1。因此，它們的公因式就是6ab.這樣我們就知道公因式是怎么回事了，它就是各項數字因數的最大公約數與各項同底數冪的最低指數冪的組合因式。它是由數字因數與最低指數冪兩部分組合而成。

弄清這一點后，提公因式時就要注意了。先找數字因數部分的公因式，再找相同底數冪的公因式，組合寫在一起，就是這個多項式的公因式。如：8a2b2-12ab2c+4ab，8，12，4這幾個數字的公因式是4；a2b2，ab2c，ab這幾個字母部分的公因式是ab，因此整個式子的公因式是4ab.另外，還有一些多項式中又含有多項式的式子，如a（x-3）+2b（x-3），它的公因式是（x-3）.這個與上面所述的方法大同小異，在此就不作贅述。如果把學到這一點就已理解了公因式的真諦，那就錯了。還有一種情況，如多項式-24x3+12x2-28x，按照上面的理解，該多項式的公因式就是4x，但按照北師大版2016版的教科書的理解及一些資料如南方出版社的《學考精練》的理解，該多項式的公因式是-4x。

只找準了公因式，還未學會如何去分解，當然是不夠的。如何去分解呢？我們還是先從簡單的入手。如上面提到的式子分解如下：

8a2b2-12ab2c+4ab=4ab（2ab-3bc+1）.

首先把公因式寫在前面，緊接著加一個括號，里面就收拾原式中除去公因式后剩余的部份就行了，原先的符號不變。如：8a2b2中的8除去了數字因數4，還剩一個因數2. a2b2除去了因式ab，還剩下因式ab，因此該項就剩下2ab，其它項類同。值得一提的是：當多項式中有與公因式相同的項時，要用1去代替而不能認為它什么都沒有了。收拾殘留時，符號是不變的。如上面式子中的4ab，已全部提出去了，所以用1代替，有不少同學就錯誤地分解如下：8a2b2-12ab2c+4ab=4ab（2ab-3bc）.但若遇到前面提到過的-24x3+12x2-28x，這個多項式第一項為負的時，又該如何去進行分解呢？若一步到位地將公因式-4x提出來，那么每項的殘留都會涉及到符號問題，非常的不方便。這時我們可把負號先提出，各項變號后，就不需要再在提公因式時考慮負號了。因此該式可以這樣分解：

-24x3+12x2-28x=-（24x3-12x2+28x）

=-4x（6x2-3x+7）。

還有一種變式的公因式，可能會有一些同學所識別不出來。那就是互為相反數的式子可以形變成公因式。例如將下列各式因式分解：

（1）a（x-y）+b（y-x）； （2）6（m-n）2-12（n-m）3。

我們可以不難發現（x-y）與（y-x）不是公因式，但他們互為相反數。同理（m-n）與（n-m）也是互為相反數。教學時，我們不妨先舉個簡單顯淺的相反數形變來講解一下其中的奧妙之處。如：1的相反數是-1，1是不等于-1的。但我們再次找-1的相反數，把它寫成-（-1）；那么1=-（-1）；這就告訴我們，我們可以通過偶數次變換相反數來獲得與原數等值的形變。因而上面兩道式子可以分解如下：

（1）a（x-y）+b（y-x）=a（x-y）-b（x-y）

=（a-b）（x-y）；

（2）6（m-n）2-12（n-m）3=6（n-m）2-12（n-m）3

=6（n-m）2[1-2（n-m）]

=6（n-m）2（1-2n+2m）。

從上面兩式的分解來看，我們不難想象：如果是冪的底數互為相反數，那么選擇指數為偶數的冪來進行形變比較方便。

二、公式法分解因式

1.平方差公式。（a+b）（a-b）=a2-b2，這是整式乘法的特例公式。逆過來運算才是分解因式：a2-b2=（a+b）（a-b）。我們不難發現，要運用這道公式分解因式，前提條件是：

a.這個多項式是由兩大項組成；

b.這兩大項必須是平方項或可以改寫成平方項。不能是部分平方而是整大項的平方；

c.這兩個平方項必須是異號的（因為異號才可以寫成差的形式）。

分解方法：用這兩大項的底數進行相加、相減然后再把結果相乘。在教學過程中，我們應該告誡學生切勿操之過急，胡亂套用公式。如：

25-16x2=52-（4x）2

=（5+4x）（5-4x）。

錯例分析：

（1）m2-9n2=（m+9n）（m-9n），這是錯誤的。

正確的答案是m2-9n2=（m+3n）（m-3n）。因為9n2這一項只有n在平方，而9并未加入到平方的行列。應先將9n2變成（3n）2，這樣才符合是整項的平方。

（2）-x2-y2=-（x+y）（x-y），這是也錯誤的。

在教學過程中，要提點學生不要以為有個-號就是差。真正的差的概念是兩項異號。

2.完全平方公式。（a±b）2=a2±2ab+b2，這也是整式乘法的特例公式。逆過來運算才是分解因式：a2±2ab+b2=（a±b）2；經觀察找規律后，我們不難發現，要運用這道公式分解因式，前提條件是：

a.這個多項式由三大項組成；

b.其中有兩大項是平方項且是同號的；

c.這兩大項底數乘積的2倍（不限正負）要出現。

分解方法：兩底數相加或相減（原式中2倍底數積項是正的就相加，是負的就相減）后再平方，這種分解最后的形式一般都是括號括住后再平方的。

三、綜合化分解因式

因式分解是多變的，靈活的，有時還會是綜合的。如：x4-x2；這道式子綜合了提公因式法分解因式與運用平方差公式法分解因式，分解如下：

x4-x2=x2（x2-1）

=x2（x+1）（x-1）

因此，我們在分解時，應當遵守以下原則：（1）對于第一項為負的多項式，優先考慮將負號提出（尤其是三項以上的）；（2）能夠用提公因式法分解的，先用提公因式法分解；（3）分解之后能夠化簡的要化到最簡，分解之后還可以再進一步分解的還要繼續分解。

綜上所述，在教學因式分解時，我們就應當不斷地引導學生挖掘分解因式中所蘊含的規律，讓學生對規律變化進行由淺入深、循序漸進地探討，總結出一套行之有效的方法，提高課堂教學效果。