關(guān)于求常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的注記

羅 艷(湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南湘潭 411201)

關(guān)于求常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的注記

羅 艷
(湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南湘潭 411201)

求常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的關(guān)鍵是正確寫出特解的形式。本文給出了求常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的幾個(gè)注記：類型Ⅰ的推廣、利用復(fù)數(shù)法和解的疊加原理求特解，并給出實(shí)例加以說明。

特解；推廣；復(fù)數(shù)法；解的疊加原理

對(duì)于常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解問題，其中a1,a2,…,an是常數(shù)，f(t)為連續(xù)函數(shù)，一般情況考慮f(t)的兩種類型[1].

(1)

類型Ⅰf(t)=P(t)eλt，其中P(t)是帶實(shí)常數(shù)系數(shù)的t的多項(xiàng)式，λ是實(shí)常數(shù).

1 類型Ⅰ的推廣

類型Ⅰ中的多項(xiàng)式P(t)可以是帶復(fù)常數(shù)系數(shù)的t的多項(xiàng)式，λ也可以是復(fù)常數(shù).

2 復(fù)數(shù)法求常系數(shù)非齊次線性微分方程特解

下面介紹復(fù)數(shù)法求常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的理論依據(jù).

定理1 方程

有復(fù)值解x=U(t)+iV(t)的充分必要條件是U(t)和V(t)分別是方程

和

的解，這里ai(t)(i=1,2,…,n)及u(t),v(t),U(t),V(t)都是實(shí)函數(shù).

證明 直接代入驗(yàn)證即可，在此省略.

注記1 若常系數(shù)非齊次線性微分方程是下列形式：

(2)

(3)

其中，α1,β1,α2,β2為常數(shù)，而A(t),B(t)是帶實(shí)系數(shù)的t的多項(xiàng)式，則可以考慮應(yīng)用復(fù)數(shù)法求(2)和(3)的特解.

第一步，寫出(2)和(3)分別對(duì)應(yīng)的方程

(4)

(5)

第二步，(4)和(5)屬于類型Ⅰ，利用待定系數(shù)法求出(4)和(5)的特解(復(fù)值解).

第三步，利用定理1，(4)特解的實(shí)部就是(2)的特解，(5)特解的虛部就是(3)的特解.

解 特征方程λ2+4λ+4=0有重根λ1=λ2=-2.

復(fù)數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)是間接通過類型Ⅰ的特解求(2)和(3)的特解，可避免求cosβt,sinβt和eαt積的各階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，減少了運(yùn)算量，學(xué)生易接受.復(fù)數(shù)法的應(yīng)用參見文獻(xiàn)[2-3].

3 解的疊加原理求常系數(shù)非齊次線性微分方程特解

下面先介紹解的疊加原理.

定理2 設(shè)x1(t),x2(t)分別是非齊次線性微分方程

的解，則x1(t)+x2(t)是方程

的解.

證明 直接代入驗(yàn)證即可，在此過程省略.

此定理可以推廣到有限個(gè)方程的情形.疊加原理的應(yīng)用參見文獻(xiàn)[4-5].

注記2 若方程(1)中的非線性項(xiàng)f(t)為下列形式中的某一種：

f(t)=P(t)eλt+Q(t)eμt，λ≠μ，

f(t)=P(t)eλt+A(t)eαtcosβt，

f(t)=P(t)eλt+A(t)eαtsinβt，

f(t)=A(t)eα1tcosβ1t+B(t)eα2tcosβ2t，α1≠α2和β1≠β2至少有一個(gè)成立，

f(t)=A(t)eα1tcosβ1t+B(t)eα2tsinβ2t，α1≠α2和β1≠β2至少有一個(gè)成立，

f(t)=A(t)eα1tsinβ1t+B(t)eα2tsinβ2t，α1≠α2和β1≠β2至少有一個(gè)成立，

這里，P(t),Q(t)是帶常數(shù)系數(shù)的t的多項(xiàng)式，其中λ,μ,α,β,α1,β1,α2,β2為常數(shù)，而A(t),B(t)是帶實(shí)系數(shù)的t的多項(xiàng)式，則方程(1)求特解可以考慮應(yīng)用解的疊加原理.

[1]王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2006:145-150.

[2]李素峰.幾類常微分方程的特殊求法[J].邢臺(tái)師范高專學(xué)報(bào),2002,17(4):57-58.

[3]張守貴.一類三階非齊次歐拉方程特解的簡單求法[J].內(nèi)江師范學(xué)院報(bào),2016,31(8):14-17.

[4]陳新一.一類二階常微分方程的特解[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010,13(1):87-88.

[5]郭軍,吳蕓.疊加原理在解常微分方程中的應(yīng)用[J].九江學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,26(1):36-37.

Notes on Finding Particular Solution for Non-homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients

LUO Yan

(School of Mathematics and Computer Science,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan Hunan 411201,China)

The key of finding particular solution for non-homogeneous linear differential equation is writing the form of particular solution. In order to enable students grasp the knowledge, we give several notes: the generalization of types of Ⅰ, finding particular solution by complex number method and superposition principle of solutions. In order to facilitate teaching and students’ comprehension, we also give examples to illustrate the applicability of our results.

particular solution; generalization; complex number method; superposition principle of solutions

2017-01-12

羅 艷(1980- )，女，講師，博士，從事常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)研究。

O175.1

A

2095-7602(2017)06-0009-03