通用常規根軌跡動態繪制系統的設計

呂麗君，賈蘭芳，蘇曉慧

（長治學院 電子信息與物理系，山西 長治 046011）

通用常規根軌跡動態繪制系統的設計

呂麗君，賈蘭芳，蘇曉慧

（長治學院 電子信息與物理系，山西 長治 046011）

根軌跡法是自動控制原理課程中的一種重要分析方法。對于高階系統，課堂上難以根據繪制法則繪制精確的根軌跡圖形。利用matlab界面編程技術實現了各階系統根軌跡的動態繪制，繪制過程中通過點擊按鈕實現暫停和繼續，有助于學生對根軌跡概念的理解。最后給出二階系統和三階系統的根軌跡圖形，驗證了系統結果的正確性。

自動控制；根軌跡；matlab；動態繪圖

根軌跡法作為經典控制理論中分析線性定常系統常用的三種基本方法之一[1]，具有簡便、物理概念清晰的特點。得到閉環系統的根軌跡圖形后，不僅可以判斷系統的穩定性，還可以分析系統的動態性能，從而為改善系統提供依據[2]。在自動控制原理課程的傳統教學中，常依據繪制法則來繪制根軌跡。利用該方法可以快速得到根軌跡的大致形狀，但不精確，而且也不夠直觀，容易挫傷學生的學習興趣。近年來，國內許多高校[3-7]在課堂上直接調用Matlab rlocus函數實現閉環系統根軌跡的靜態展示，收到了較好的效果。在此基礎上，通過編寫程序實現了根軌跡的動態繪制，相比于直接調用rlocus函數，動態繪制可以實現繪制過程暫停和繼續，更利于學生對根軌跡概念的理解和運用。

如今，Matlab語言[8]也早已走進大學課堂，該軟件以其強大的數值分析、數值和符號計算、工程與科學繪圖、控制系統的設計與仿真、數字圖像處理、數字信號處理、通訊系統設計與仿真以及財務與金融工程等功能在很多學科中得到運用。使用該語言編寫程序，以用促學，有利于激發學生學習興趣。

1 根軌跡及繪制規則

根據經典控制理論中的時域分析法，閉環系統動態性能與其特征方程的根在復平面（s平面）上所處的位置有關。但通常求解高階系統特征方程的根十分困難，從而限制了該方法在高階系統中的應用。此時，運用根軌跡法，可以方便確定s平面上閉環極點隨著開環增益變化的運動軌跡。進而可以分析對應于開環增益取某一個值時，閉環系統的性能。

常規根軌跡是根軌跡的一種，就是當系統開環傳遞函數的開環增益（k）由零到無窮大變化時，閉環特征根在s平面上移動所畫出的軌跡[2]。

假定單位負反饋二階控制系統的框圖如圖1所示。

圖1 單位負反饋二階控制系統框圖

根據反饋變換法則[2]，系統的閉環傳遞函數為：

閉環傳遞函數的分母，即為系統的特征方程：s2+3s+k=0。運用解析法即可求得特征根為，可以看出特征根與k值的大小有關。

將特征根隨k（0→∞）變化而變化的過程全部繪制在s平面上，就得到系統的常規根軌跡，如圖2所示。

圖2 二階單位負反饋系統根軌跡示意圖

對于高階系統，其特征方程是高階方程，通常難以直接通過解析法得到閉環系統的特征根。此時可以根據繪制規則，得到根軌跡圖形。根軌跡的繪制法則主要包含：根軌跡的起點和終點、根軌跡的分支數、根軌跡的對稱性、根軌跡的漸近線、實軸上的根軌跡、分離點和分離角、起始角和終止角、與虛軸交點、根的和等方面[1,2]。

2 系統設計

2.1 軟件總體功能設計

系統功能如圖3所示，主要包含三個界面，分別是根軌跡顯示界面、參數輸入界面、幫助界面。其中根軌跡顯示界面可以實現根軌跡的顯示、動態繪制過程暫停、繼續以及清空繪圖區域等功能；參數輸入界面用來讀取開環傳遞函數的系數；幫助界面主要用來提示用戶輸入系數的格式和需要注意的問題。

圖3 通用常規根軌跡動態繪制系統功能結構圖

2.2 各界面布局

圖4 通用常規根軌跡動態繪制系統各界面圖

2.2.1 根軌跡顯示界面

根軌跡繪制界面如圖4（a）所示，有繪圖區域和繪制、暫停、繼續、清除、關閉按鈕。其中，繪圖區域用來顯示系統的根軌跡，點擊繪制按鈕，彈出參數輸入對話框。繪圖過程中可以通過點擊暫停和繼續按鈕實現動態繪圖的暫停和繼續。清除按鈕可以清空繪圖區域，為再次繪圖做準備。關閉按鈕實現軟件的關閉。

2.2.2 參數輸入界面

參數輸入界面如圖4（b）所示，用戶可在兩個可編輯文本框中輸入開環傳遞函數的系數，默認參數為，分子系數[2 5 1]，分母系數[1 2 3]。點擊確定，即開始繪圖。如果用戶不清楚輸入格式，可以點擊幫助按鈕彈出幫助提示框。

2.2.3 幫助界面

幫助界面如圖4（c）所示，主要用來提示用戶輸入系數的格式和需要注意的問題。點擊，我知道了按鈕，該窗口關閉。

2.3 主要程序段

程序中使用自定義函數draw_gen(num,den)實現根軌跡的動態繪制，其基本流程為：將用戶輸入兩個可編輯文本框的參數分別賦值給num變量和den變量，利用tf函數將其生成傳遞函數。調用matlab內部rlocus函數繪制根軌跡，以便獲取根軌跡數據和坐標軸范圍。將獲取的數據使用for循環中的plot命令依次繪制各數據點，結合暫停（pause）命令，實現動態繪制。自定義函數draw_gen(num,den)程序如下：

3 結果分析

3.1 二階系統

3.2 三階系統

圖6 三階系統根軌跡圖形

4 結論

該系統操作簡便，只需在文本框中輸入參數即可實現各階控制系統根軌跡的動態繪制，學生無需面對繁雜的程序段。有助于提升學生學習自動控制原理課程的興趣，同時也能使學生認識到學習matlab語言的重要性。另外，通過對比其他文獻的例子，也證明了該系統繪圖結果的正確性。

［1］張晉格.自動控制原理（第2版）［M］.哈爾濱工業大學出版社,2007.

［2］孟慶明.自動控制原理（非自動化類）（第二版）［M］.高等教育出版社,2008.

［3］畢效輝,陳少昌,姚瓊薈.對Matlab根軌跡繪制法的一種補充［J］.海軍工程大學學報,2006,(01)：47-50+62.

［4］楊艷麗,郭一鋒,張國良,王蜂.MATLAB仿真在自動控制理論教學中的應用［J］.教育教學論壇,2016,(21)：266-267.

［5］張琦.根軌跡圖繪制方法對比分析［J］.機電技術,2012,(05)：22-23.

［6］張春慧,宗哲英,王蒙,任寶鵬.基于MATLAB GUI的自動控制原理虛擬實驗平臺的開發與研究［J］.內蒙古農業大學學報(自然科學版),2015,(03)：101-105.

［7］王彥良.基于MATLAB繪制各種根軌跡的圖形用戶接口設計［J］.教育教學論壇,2010,(20)：100-101.

［8］陳垚光等.精通MATLAB GUI設計（第2版）［M］.電子工業出版社,2011.

Design of the General Root Locus Dynamic Rendering System

Lv Li-jun,Jia Lan-fang,Su Xiao-hui
（Department of Electronic Information and Physics,Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

The root locus method is a kind of important analysis method in the course of automatic control principle.For high order system,it is difficult to precisely draw root locus figure according to the mapping rule.In this paper,matlab GUI technology has been used to achieve the root locus'dynamic drawing,which is beneficial to the students'understanding of the root locus'concept.Finally,the root locus of second order and third order system are given,which verifies the correctness of the system results.

autocontrol;rootlocus;matlab;animation

TB114.2

A

1673-2014（2017）01-0041-04

（責任編輯 郝瑞宇）

2017年山西省高等學校教學改革創新項目（J2017119）

2017—02—25

呂麗君（1988— ），男，山西屯留人，碩士，主要從事數據可視化研究。