系泊系統的設計

王穎俐，王飛，謝文丹

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

系泊系統的設計

王穎俐，王飛，謝文丹

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

文章研究了近淺海系泊系統的設計問題。根據力學的相關原理，利用受力平衡，建立了系泊系統各個部分的受力模型，得到多元非線性方程組，以浮標的吃水深度和游動區域及鋼桶的傾斜角度最小為目標，使得系泊系統的各個部位達到最優。

系泊系統；受力平衡；傾斜角度

1 研究背景及問題重述

以2016年全國大學生數學建模競賽A題為研究背景，研究系泊系統的設計問題，即：為了使得浮標的吃水深度和游動區域及鋼桶的傾斜角度盡可能的小，如何確定錨鏈的型號、長度和重物球的質量問題。

2 問題的分析

系泊系統要求錨鏈末端和錨的鏈接處的切線方向與海床所形成的夾角不能超過16°，否則錨就會被拖行，使得節點移位而丟失。該傳輸節點的水聲通訊系統安裝在一個密封的圓柱形鋼桶內，其中鋼桶長為1 m，外徑為30 cm，設備和鋼桶總重為100kg。鋼桶上接第4節鋼管，下接電焊錨鏈。若要水聲通訊設備的工作效果最佳，則鋼桶應該豎直。鋼桶的傾斜角度，即鋼桶與豎直線的夾角超過5°時，設備的工作效果較差。為了控制鋼桶的傾斜角度，則需在鋼桶與電焊錨鏈鏈接處懸掛一個重物球。因此所研究的系泊系統的設計問題就是為了確定錨鏈的型號、長度和重物球的質量，使得浮標的吃水深度和游動區域及鋼桶的傾斜角度盡可能的小。

首先根據整體分析確定浮標的受力情況。然后再進行局部分析，以水平方向的力為x軸，以豎直方向的力為y軸，建立平面直角坐標系，利用牛頓第一定律，即在合外力為0的情況下物體保持靜止，建立系泊系統各個部分的受力模型，以浮標的吃水深度和游動區域及鋼桶的傾斜角度最小為目標，通過Maple軟件計算，逐步迭代得到。最后利用Maple軟件得到錨鏈形狀圖為一個類拋物線。

3 模型假設及符號說明

3.1 模型假設

（1）假設海水對整個系統的摩擦力以及各部分之間的摩擦力忽略不計；

（2）假設水聲通訊系統正常工作；

（3）假設系泊系統始終能正常工作，且不發生意外狀況；

（4）附表中所給的數據真實有效。

3.2 符號說明

符號 表示含義 單位 符號 表示含義 單位θ（i=1,2,…5） 各節鋼管及鋼桶與豎直方向的度（°） F鋼桶所受的浮力 牛頓（N）i的傾斜角度夾角桶浮F浮 浮標所受的浮力 牛頓（N） F重浮 重物球所受的浮力 牛頓（N）M 浮標的質量 千克（kg） F錨 錨鏈對鋼桶的拉力 牛頓（N）F風 近淺海風荷載 牛頓（N） x 錨鏈在水平方向的長度 米（m）α 錨鏈與錨鏈接處在水平方向的度（°） X 游動區域的半徑 米（m）夾角F拉 整體分析時系統對浮標的拉力 牛頓（N） y 錨鏈在豎直方向的長度 米（m）m 鋼管的質量 千克（kg） T 錨鏈的張力 牛頓（N）m1 鋼桶的總質量 千克（kg） R 張力在水平方向的分力 牛頓（N）m2 重物球的質量 千克（kg） F壓 錨所受到的地面的壓力 牛頓（N）F（ii=1,2,3，4） 各鋼管間的相互拉力 牛頓（N） F總浮除了浮標之外其他所有部分的牛頓（N）總浮力F浮＇ 各鋼管所受的浮力 牛頓（N） m總除了浮標之外其他所有部分的千克（kg）總質量f 錨所受的摩擦力 牛頓（N）μ 海床的摩擦系數（0.6） H 水深 米（m）α R物體在水中的相對重力

4 模型的建立與求解

利用牛頓第一定律[1]，對系泊系統傳輸節點進行整體分析和局部分析。首先進行整體分析如圖1所示。

圖1 傳輸節點示意圖（僅為結構塊示意圖，未考慮尺寸比例）

如圖1所示，每個鋼管和豎直方向的夾角和鋼桶與豎直方向的夾角，分別用θ（ii=1，2，…5）表示，下面對整體進行受力分析。分析如下：把浮標以下的部位看成懸鏈線[2]，如圖2所示：

浮標受自身的重力Mg，海水對其的浮力F浮，近海風對它的荷載力F風，懸鏈線的拉力F拉，其中懸鏈線方程為：

圖2 系泊系統整體示意圖

懸鏈線的張力為：

聯立（1）（2）（3）式，利用Maple軟件計算可得浮標的吃水深度為：

當v=12m/s時，h=0.8008420463m；當v=24m/s時，h=1.050419325m。

再針對局部進行受力分析，分析情況如下表1所示：

表1 系泊系統各部分受力分析表

根據F錨對錨鏈的受力進行分析，并將錨鏈看為一個懸鏈線，可得方程組：

因此，浮標的游動范圍是在海平面上與錨豎直方向相交的點為圓心，X=10.11356613為半徑的圓，則所得錨鏈形狀如圖3所示，利用Maple軟件進行作圖，取第二卦限的圖像，即為錨鏈的形狀。

圖3 V=36m/s時的錨鏈形狀

從上述結果可以看出，當風速為V=36 m/s時，錨鏈在錨點處與海床的夾角超過了所要求的最大角度16°，使得錨被拖行，導致節點移位丟失，故應調節重物球的質量，使其節點位置不變。通過受力分析畫出受力圖，如圖4所示。

圖4 浮標與錨的整體受力分析

根據受力平衡原理，可聯立方程組：

解之可得：m=2570 kg

同理可得，要使鋼桶的傾斜角度不超過5°時重物球的質量為：m=5285 kg

綜上可得，需調節重物球的質量在2570～5285 kg，使得錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16°和鋼桶的傾斜角不超過5°。

［1］艾薩克·牛頓（著），趙振江（譯）.自然哲學的數學原理［M］.商務印書館，2006.7.

［2］王丹，劉家新.一般狀態下懸鏈線方程的應用［J］.船海工程，2007，36（3）：26-28.

The Design of Mooring System

Wang Ying-li，Wang Fei，Xie Wen-dan
（Department of Mathematics Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

This paper studies the design of nearly shallow sea mooring.According to the relevant principles of mechanics,we got the nonlinear multivariable equations by using the principle of force equilibrium.To make any part of the mooring system achieve the optimal,we aimed at minimum of draft depth of buoy,the winding angle area and steel drum.

mooring system;the stress balance;tilt angle

O369

A

1673-2014（2017）02-0006-04

（責任編輯 趙巨濤）

山西省大學生創新項目（2017429）；長治學院科研項目（201514）

2017—02-22

王穎俐（1987— ），女，山西臨汾人，碩士，講師，主要從事時間序列分析及排隊論等領域的研究。