恒加應力水平下混合指數-威布爾分布的EM估計

李建麗，李海增，李江杰

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

恒加應力水平下混合指數-威布爾分布的EM估計

李建麗，李海增，李江杰

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

指數-威布爾分布是一種應用廣泛的壽命分布，文章探討了在恒加應力水平下的兩個指數-威布爾分布構成的混合分布，利用EM算法對該混合分布中的參數進行了估計，并給出了參數估計的迭代式。

混合指數-威布爾分布；加速壽命試驗；EM算法；完全數據

壽命數據分析現今已成為一熱門領域。對于單個壽命數據總體的統計分析已十分成熟，而在實際應用中，也會經常遇到混合分布的情況，混合分布模型在處理復雜數據和樣本中具有良好的適應性和模擬性。目前，有許多學者對混合分布展開了研究，如朱利平等[1]研究了在完全數據下的混合指數分布的參數估計。在壽命分布中，指數-威布爾分布[2]EWD）是一種重要的分布，其分布函數和概率密度函數分別為：

（1）式中固定參數α=α0，并令xα0=t，則（1）式轉化為：

張曉勤等[3]用ECM算法研究了（1）式分布構成的混合分布在正常應力水平下的參數估計問題。馮艷等[4]探討了（2）式分布在截尾情形下的參數估計。

現今隨著科技的發展，高可靠性、長壽命的產品越來越多，此時正常應力水平下進行的可靠性試驗已不再適應。而加速壽命試驗可以在保持失效機理不變的情況下，加快產品的失效，在短時間內可獲取產品可靠性指標的評定。加速壽命試驗中最常見的一種試驗是恒加應力試驗。對于單個分布的加速壽命試驗，茆詩松，王玲玲[5]已進行了很好的研究和總結。但是對于多個分布組成的混合模型的加速壽命模型的研究比較少見。文章將研究恒加應力水平下由（2）式分布所構成的二階混合指數-威布爾分布在完全數據場合下的參數估計。

基本假定：

假定一：在恒加應力水平S1…，S（kS0＜S1＜…＜Sk）下，產品占總體的比例批p保持不變，產品的壽命服從混合指數-威布爾分布，其密度函數為：

假定二：產品的中位壽命t0.5與應力水平S之間有如下關系：

其中aj，bj為未知參數，Φ（S）i是Si的已知函數。

定理 二階混合指數-威布爾分布的參數的估計迭代公式分別為：

證明 設第i個應力水平下第j個產品的壽命tij服從混合指數-威布爾分布，根據基本假定，則可知tij的分布為：

引進一示性變量Iij,Iij=1表示tij～f（itij，1），Iij=0表示tij～f（itij，2），可知Iij～b（1，p）。由于不知道tij來自fi（tij，1）還是f（itij，2）的指數-威布爾分布總體,故Ii是不能被觀測到的隨機變量。

tij和Iij的聯合分布即完全數據的分布為：

根據貝葉斯公式，Iij在tij給定的條件分布為：

給定初值η0，EM算法的步驟如下：

文章主要探討了恒加試驗條件下，混合指數-威布爾分布在完全數據情形下的參數估計問題，進一步還可以討論該混合分布在恒加應力條件下在截尾數據情況下的參數估計。

［1］朱利平,盧一強,茆詩松.混合指數分布的參數估計［J］.應用概率統計,2006,22(2)：137-150.

［2］Mudholker G S,Srivastava D K.Exponentiated Weibull family for analying bathtub failure data［J］.IEEET rans.Reliab,1993,42：299-302.

［3］張曉勤,王煜,盧殿軍.混合指數威布爾分布的參數估計［J］.河南大學學報(自然科學版),2012,42(3)：230-233.

［4］馮艷,師義民,嚴惠云.定數截尾情形下指數-威布爾分布參數的Bayes估計［J］.數學的實踐與認識,2007,37(5)：65-70.

［5］茆詩松,王玲玲.可靠性統計［M］.上海：華東師大出版社,1984.

（責任編輯 趙巨濤）

O212

A

1673-2014（2017）02-0028-02

山西省高等學校大學生創新創業訓練項目（2015429）；長治學院科研項目（201606）

2017—02—11

李建麗（1983— ），女，山西高平人，講師，碩士，主要從事概率統計方面的研究。