一道高考題反思如何進行高三數學復習

蔡愛欽

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2017）06-0245-01

2017年考試大綱在能力要求內涵方面，增加了基礎性、綜合性、應用性、創新性的要求，增加了數學文化的要求。因此，我們要引導學生重視基礎知識、基本技能和基本的數學思考方法，對習題要舉一反三，一題多解，解題中要不斷優化解題思路、加大思維量減少運算量，在數學文化方面，要求學生注重這方面知識的積累，注重實際應用。

為了適應新考試大綱要求，高三的復習不應該只是停留在就題講題層面，而應該是在講解習題的過程中尋找知識點之間的聯系，進行思想方法的歸納總結，進行題目的挖掘和引申，構建專題的知識網絡，在進行高效復習的同時培養學生的能力。下面我就以函數的對稱性和函數的導數為核心，介紹如何進行高三數學復習。

母題：設點P在曲線y=12ex上，點Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|最小值為2（1-ln2）。

分析：常規思路是設出動點坐標P（x1，12ex），Q（x2，ln2x2），列出|PQ|=f（x1，x2），再求最值。顯然雙動點難度很大，注意到指對數函數的關系，發現y=12ex與y=ln（2x）互為反函數，圖象關于y=x對稱，則|PQ|≥d1+d2≥2d0其中d0是點P到直線y=x的距離。將問題轉化為求“曲線y=12ex上的點到直線y=x的距離的最小值”。

整道題是觀察并發現兩函數的特性，根據它們互為反函數的圖像特性，把所求的點點距離轉化為點線距離，構造函數求解。觀察、分析、轉化，這就是考查能力。利用圖形的對稱性將問題轉化為解析幾何問題，在求最小值時又用到導數知識，從數到形的轉化，將一類知識遷移到另一類知識情境中創造性解決，這就是創新能力，就是學科素養，學科價值。在教學過程中，要引導學生歸納處理雙動點問題的基本方法：力求向單動點問題轉化，解題過程要做到思路清晰，有法可依。

當然對于文科生來講，由于對反函數要求比較低，導數方面也相對較弱，因此在講解這道題時可以適當降低難度，比如可以先設計以下兩個題目：

題1：設直線x=t與函數f（x）=x2，g（x）=lnx的圖象分別交于點M，N則當|MN|達到最小時t的值為2。

此題雖然兩個點都是動點，但由于它們的橫坐標相等，所以求MN的距離難度不大，設計這道題目的目的是要建立利用導數求最值的知識框架，讓學生熟悉這個知識背景的前提下解決母題。

題2：設點P在曲線y=ex上，點Q在曲線y=lnx，則|PQ|的最小值為0.5。

此題學生較容易看出兩個函數互為反函數，再復習反函數的性質，構建有關反函數的知識體系，學生解決此題自然就得心應手。

通過上面學生對利用函數導數求最值問題有了初步的了解，這時我們可以讓學生歸納有關利用導數求最值的方法步驟，并以此為載體，引導學生回憶利用導數求函數單調性，極值，求切線的方法，這樣通過簡單的一道母題就復習了導數應用的知識點，構建起導數應用的知識體系，這也再次體現了這道題的學科價值。

通過上面學生對曲線關于直線對稱的曲線問題也有了了解，這時我們可以順便復習有關直線對稱其他類型問題，比如關于x軸、y軸對稱等，建立起有關對稱的知識體系，拓展學生的應用能力，大大提高高三復習的效率。

接下來我們可以再設計兩道姐妹題，讓學生進一步鞏固剛才所建立的知識體系。

姐妹題1：已知函數f（x）=lnx2+12，g（x）=ex-2，對于使得g（a）=f（b） 成立，則b-a的最小值為ln2。

解法分析：設g（a）=f（b）=m，從而可求出b，a，再求出b-a，令b-a=h（m），再利用導數求最值的方法求h（m）的最小值即可。

此題是構造新函數，再用導數求最值的方法解題，這考查了學生觀察、分析、轉化的能力，同時也再次鞏固了利用導數求最值知識點。

姐妹題2：已知函數g（x）=a-x2（1e≤x≤e，e， 為自然對數的底數）與h（x）=2lnx的圖象上存在關于x軸對稱的點，則實數 α的取值范圍是[1，e2-2] 此題不僅考查了對稱問題，還考查了構造函數，函數求極值問題，正好鞏固了本節的兩個重要知識點。

我們還可以進一步深化，提高學生的遷移能力。

深化題1：函數f（x）=ex+x2+x+1與g（x）的圖象關于直線2x-y-3=0對稱，P與Q分別是函數f（x），g（x）圖象上的動點，則|PQ|的最小值為2 5。

解法分析：根據函數f（x）的圖象與g（x）關于直線2x-y-3=0對稱，所以函數f（x）到直線的距離的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值。

深化題2：若實數a，b，c，d滿足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0 則（a-c）2+（b-d）2的最小值為8。

解法分析： 根據b+a2-3lna=0，c-d+2=0構造函數y=3lnx-x2設c=x，d=y轉化為曲線y=3lnx-x與直線y=x+2之間的最小距離的平分值即可。

高三學生的時間是非常寶貴的，課堂上能否高效教學直接影響著學生的高考分數，所以我們在設計課堂教學時不能具有隨意性，而應該精心備課，構建專題知識網絡，進行系統教學，教學中我們可以設計一題多變，一題多解，歸納解題方法，提高復習效率。