以問題驅動數學課堂教學的實踐與思考

陳華林

所謂問題驅動，是指通過對某個現象或對象的觀察，并由淺入深地探究進而揭示現象或對象的本質。數學作為自然界的抽象反映，它與其他自然科學一樣，也是圍繞問題展開的，通過提出問題、分析問題、解決問題最終形成一整套理論。問題既是自然科學研究的源動力，也是數學研究的源動力。因此，我們的數學課堂教學應該是由問題驅動的活動過程。

一、以問題驅動數學課堂教學的基本理念

在數學教學中運用問題驅動有利于培養學生的問題意識，激發學生的學習興趣和動機，培養學生的創新能力。當學生懷著強烈的問題意識進行學習、探究時，可以從具有挑戰性的創造中獲得積極愉悅的感情體驗，有助于強化求知欲，增強學習的內在動機，改變學生過分依賴教師、書本的學習習慣，實現教學過程中主體作用的發揮，為發展創新能力奠定基礎。

建構主義學習理論認為只有進入學生認知場域并被其意識到的問題，才能促進其積極思考，進而形成自己的認識或解答，用本原性問題驅動數學課堂教學就是要抓住師生間互動的認知場域，形成普遍的共識或解答。它有助于學生問題意識的提高，有助于合作意識和探究能力的提高，也有助于創新意識和實踐能力的加強。

下面結合我去年的一個具體教學案例《直線與橢圓的位置關系》，來談談對以問題驅動數學課堂教學的實踐與思考。

二、以問題驅動《直線與橢圓的位置關系》課堂教學實踐

（1）內容解析

解析幾何是高中數學的重點和難點，其中直線和橢圓的位置關系，是圓錐曲線中最基本、最重要內容之一，其研究方法是研究直線與其他圓錐曲線位置關系的基礎。學生之前已經接觸過直線和圓的位置關系，所以運用類比的方法研究直線和橢圓的位置關系，讓學生思考，自己提出以直線和橢圓為載體，會提出什么樣的問題。讓學生在“做”和“思”的過程中收獲更多的知識、體驗和感悟。

（2）教學過程

問題1 我們以前學過直線和圓，還記得直線和圓的位置關系有幾種？他們的位置關系怎樣判斷呢？

生：有三種，相交、相切、相離，利用圓心到直線的距離和半徑比較。

教師引導學生回顧如何判斷直線和圓的位置關系，并追問：還有其他辦法嗎？

生：聯立直線和圓的方程，得到一元二次方程，利用方程解的個數，判斷直線與圓的位置關系。

師：我們又學了一種新的和圓非常類似的曲線——橢圓，直線和橢圓的位置關系有哪幾種？

生：相交、相切、相離。

師：他們的位置關系又如何來判斷呢？

生甲：利用橢圓中心到直線的距離。

師追問：利用橢圓中心到直線的距離和誰作比較？

生甲猶豫中發現自己回答有問題。

經過討論交流，大家都發現了生甲的問題所在。

生乙：類比直線和圓的位置關系那樣，聯立直線和橢圓的方程，得到一元二次方程，利用方程解的個數，判斷直線與橢圓的位置關系。

設計意圖：以學生熟悉的直線和圓的位置關系入手，運用類比的方法得出如何判斷直線和橢圓的位置關系。

例1：已知橢圓■+■=1，直線l：4x-5y+k=0. 問：k取何值時，直線與橢圓相交？

由前面的鋪墊和啟發，學生都意識了第二種方法適用，聯立直線和圓的方程，得到一元二次方程，方程有兩個不等解，則直線和橢圓相交。

設計意圖：給學生時間，做出最終結果，讓學生體會解析幾何的核心是“用代數方法研究幾何問題”，并歸納出判斷直線和橢圓的位置關系的一般方法。

問題2 大家覺得給出直線和橢圓相交會出什么類型的問題？

師：已知橢圓■+■=1，直線l：4x-5y+k=0.

學生有些手足無措。

師：大家想一下直線和圓相交會出什么類型的問題？

生：求弦長。

師：那直線和橢圓相交，可以求弦長嗎？

生（思考之后）：好像不行，圓的弦長是利用垂徑定理，但橢圓不具備這個性質。

師：那我們要想其他辦法了，弦長本質就是兩點間距離，怎么求呢？

生：用兩點間距離公式■。

一段時間過后，大家就沒耐心做下去了，也聽到有同學在下面說，不求出x1、 x2，利用韋達定理來求（x1-x2）2，可是（y1-y2）2怎么辦呢，再化成關于y的方程？

師：剛才的思路理論上可以，但計算量太大，有同學說可以利用韋達定理來求（x1-x2）2，但（y1-y2）2沒辦法解決，我們來看下兩者有沒聯系。

生：由圖可知，利用斜率公式=k（準確講是 | k |），所以， （y1-y2）2=k2（x1-x2）2。

師：很好，我們剛才是從圖形上找到二者的聯系，還有其它方法嗎？x1、 x2和y1、 y2并不是孤立的。

生：y1=kx1+b，y2=kx2+b，兩式相減，則y1-y2=k（x1-x2），推導出弦長公式：| AB |。

設計意圖：讓學生自己類比直線與圓，設計問題，推導出弦長公式，體驗知識生成的過程，尋求解決問題的方法，并體驗取得成功的喜悅。

問題3 把上面的問題改為動直線，已知橢圓，直線l：4x-5y+n=0和橢圓相交，以此為背景，還可以出什么問題？

生：可以求弦長的最值。

師（追問）：怎么求？

生：弦長是關于n的式子，可以看成關于k的函數，利用函數知識來解決。

師：還有其它問題嗎（沒人響應）？這是一組斜率相同的直線，會不會有些規律，比如一些特殊的點的軌跡。

生：中點，橢圓、圓（大家回答五花八門）。

師：（幾何畫板演示）中點的軌跡是線段，問題是怎么證明（學生有些手足無措）？

師：中點的變化是由誰引起的？

生：n的變化引起的？

師：直線和誰對應？

生：二元一次方程。

師：中點的橫坐標和縱坐標都和n有關，那么……

生：消掉n，得到x和y的等式。

通過學生的獨立自主運算，得到了相交弦中點的軌跡方程。

設計意圖：讓學生自己得到直線與橢圓相交，得到相交弦的中點軌跡問題。并自己解決這個問題。

問題4 已知橢圓，直線l：4x-5y+k=0和橢圓相離，以此為背景，可以出什么問題？

生：可以求橢圓上的點到直線的最近距離和最遠距離。

師：怎么求？

生：平移直線，最先接觸橢圓的點為最近距離，最后接觸的點為最遠距離。

師：你們所說的最先接觸的點和最后接觸到的點又如何來刻畫呢？

生：利用相切，找到平行于已知直線的切線即可。

學生通過獨立自主的演算，得到了距離的最值。

（3）反思

建構主義教學理論指出，學習者不是空著腦袋走進教室的，在以往的生活、學習和交往活動中，他們逐步形成了自己對各種現象的理解和看法，而且，他們具有利用現有知識經驗進行推論的智力潛能。因此問題的設計要接近學生現有的認知結構。

在“問題驅動”的這節課教學實施中，我們以直線和圓的知識為載體，讓學生自主發現、探索，解決直線與橢圓的關系以及由此所衍生出來的問題。心理學中的“宜家效應”是指人們購買了宜家家具后，回到家需要花很多力氣把它組裝起來?？吹接H手組裝的家具，喜愛程度就會超過同等品質的其他家具。人們自己制作產品時，會產生對這一產品的依戀感和自豪感。應用到教學中，教師要讓學生在課堂這一舞臺上充分展示自我，讓學生經歷實驗、猜測、交流、反思、合作等理性思維的過程，讓學生參與其中，成為學習的主人。

數學問題的產生主要有兩個來源。一是教師在備課過程中精心設計的反映該數學主題實質的問題；二是在課堂教學活動過程中，由學生所提出的涉及該數學主題實質的關鍵問題。前者意味著教師要把實質性的數學問題“教學法化”，讓數學實質能夠被學生觸及和逐步理解；后者意味著教師在充滿不確定性的課堂里發現本原性數學問題，能及時抓住學生的那些反映數學思想實質的樸素想法并加以發展。由此不難得出，數學問題具有自然生成、預設下的原發性和多角度對話的品性等特征。

以問題驅動的數學課堂教學是學生主體、師生互動的生成性教學，是學生認知場域和教師認知場域之間的碰撞、交流、拓展、提升的動態過程。由于“問題”是師生在教學互動中自然產生的自己的問題，具有較大的開放度和一定的難度，由此勢必要求師生共同合作、相互探究，有利于學生合作和探究能力的提升，有利于學生創新精神的養成和實踐能力的加強，這正是數學新課程所追求的理念和價值。

參考文獻

[1]楊玉東，李傳峰. 用本原性問題驅動數學概念教學[J].中學教研（數學），2006（1）.

[2]何勇，曹廣福. 以問題驅動數學教學[J].中學數學教學參考，2014（7）.

[3]張署青，曹廣福. 以問題驅動對數概念教學[J].中學數學教學參考，2014（7）.

（作者單位：廣州市培正中學）

責任編輯 黃佳銳