淺析以立體幾何為載體的空間最值問題的求解策略

姜曈

摘要：立體幾何是高中數學的重要內容之一，在考試或者練習中常常會遇到，以立體幾何為載體的空間最值問題，該問題的解決不僅需要具備識圖、用圖的能力，更要具備較高的空間想象能力。以立體幾何為載體的空間最值問題，常常會找不到著手點，因此文中探究了幾種策略，期望能夠更好地解決“以立體幾何為載體的空間最值問題”。

關鍵詞：立體幾何；空間最值；求解策略

近幾年，高考和高三模擬考試卷中，經常會遇到“以立體幾何為載體的空間最值問題”，該問題要想順利解決，不僅要有很好的識圖能力和用圖能力，還要具備較高的立體空間思維能力，更重要的是掌握一些策略。以立體幾何為載體的空間最值問題，是當前大部分學生聞之色變的難題，甚至部分學生遇到之后，直接躲過，因為他們根本找不到著手點。

策略1 直觀感知，考慮特殊位置

例1 （2016年浙江高考題）如圖1（1），在△ABC中，AB= BC=2，∠ABC=1200.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD體積的最大值是 。

【分析】

∵PD=DA，PB=BA

∴該題可以轉化為△ABC以BD為軸進行折疊，折疊過程中形成的三棱錐P-BCD的體積何時最大？

直觀感知，平面PBD⊥平面BCD時，三棱錐P-BCD的體積將取得最大值。

解（略）

【評注】 例題1的關鍵就是要能夠靈活運用“PD=DA，PB=BA”這一已知條件，完成該條件的轉化，將問題轉化為“折疊”問題。“折疊”問題是較為容易，且直觀的問題，只能夠轉化成為“折疊”問題，后面的問題即可迎刃而解。

策略2 立體圖形問題轉化成為不等式問題

例2 圖2 展示了某一個幾何圖形的三視圖，當x與y均為最大值時，該立體幾何的體積為

【分析】 正視圖、俯視圖以及側視圖均為三角形，可以得知該幾何圖形為三棱錐。通過圖2可以將三棱錐的平面圖畫出，如（圖3）。均值不等值用以求最值的關鍵就是要構造不等關系，該題目中就要利用圖3的平面圖，聯系三棱錐的體積公式V=（1/3）S×H（S是底面積，H是三棱錐的高）。

解（略）

【評注】 根據三視圖畫出立體幾何的平面圖，這不是件難事，但是解決本題的關鍵就是構造不等式關系。在立體幾何中構建不等式關系時，運用頻率最高的不等式關系就是：a2+b2≥2ab，該不等式關系主要來源于勾股定理：a2+b2=c2。

策略3 立體圖形問題轉化為函數問題

例3 三棱柱ABC-A1B2C3（如圖4）中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1.

（1）求證：A1C⊥CC1

（2）若AB=2， AC=√3 ，BC=√7，問AA1為何值時，三棱柱ABC-A1B2C3體積最大，并求三棱柱

ABC-A1B2C3體積的最大值。

【分析】 該題目解決時，可以將AA1作為自變量x，建立一個有關三棱柱體積的函數關系，然后在利用函數的性質，即可求得最大值。

解（略）

【評注】 利用函數的性質解決詞類單變量最值問題，是最常用的方法，更是通性通法。以立體幾何為依托考察函數最值的求法，既能夠增加問題的神秘感，迷惑學生，還能夠豐富試題的知識內涵，巧妙地回避了簡單直白的命題方式。

立體幾何為載體的空間向量最值問題，確實是當前的難點，而將幾何問題轉化成為函數問題、不等式問題就能夠有效地的解決，另外還可以通過直觀感覺，進行解決。

參考文獻：

[1] 朱長改，徐加生.立體幾何最值問題的求解策略[J].中學生數理化（高考版）.2010（03）endprint