兩個正數的各種均值

徐望斌，陳敬華

(湖北師范大學數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

兩個正數的各種均值

徐望斌，陳敬華

(湖北師范大學數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

給出了兩個正數的各種均值的一種新的幾何模型，并由此構造了兩個正數的各種均值不等關系的一種證明．再對均值不等式進行了拓展，說明其應用。

兩個正數；均值；幾何模型

0 引言

兩個正數的各種均值的不等性在數學中占有重要的地位，不等式的證明中經常用到兩個正數的算術平均數、幾何平均數、調和平均數和平方平均數之間的關系，也就是均值不等式[1]。本文通過對梯形中位線的性質聯想，給出了這四種均值之間的不等關系的一種幾何模型，再依照幾何模型的性質給出了均值不等式的一種證明．再對均值不等式進行了拓展，說明其應用。

目前，關于兩個正數a，b的各種均值主要有：

Lehmer 平均定義不了平方平均．

Mp(a,b)與Lp(a,b)都是p的嚴格單調增函數，從而得到均值不等式

1 均值不等式的幾何模型

如圖1：設梯形ABCD的上底AB的長為a，下底CD的長為b，不妨設0

f(θ)=a+θ(b-a),(0≤θ≤1)

易得函數的性質：

1)f(θ)=a+θ(b-a),(0≤θ≤1)是θ的增函數；

2) 當θ1+θ2=1(0≤θ1，θ2≤1)時，f(θ1)+f(θ2)=a+b；

3) 當θ1+θ2>1(0≤θ1，θ2≤1)時，f(θ1)+f(θ2)>a+b．

其次，θ的值以及對應f(θ)值如表1：

圖1 幾何模型

表1 θ與f(θ)的值

這樣就從圖形上直接得到了均值不等式，清楚明了．上式在a=b時，所有不等號變成等號．

從上面的推導也容易想到：均值不等式實際上是在兩個數a,b(0

由f(θ)=a+θ(b-a),(0≤θ≤1)是θ的增函數，這樣就從代數方面得到了均值不等式．

2 均值不等式的拓展及其應用

從上面的分析，易得均值不等式的拓展式：對正數a與b，有

(1)

證明 當a=b時上式顯然成立．

不妨設b>a，由f(θ)=a+θ(b-a),θ∈[0,1]的性質3)來證明．

例2 設0≤θ≤1．對于已知正數a,b，證明：a+θ(b-a)≥a1-θbθ．

證明 令h(a)=a+θ(b-a)-a1-θbθ，則

h＇(a)=1-θ-(1-θ)a-θbθ

由h＇(a)=1-θ-(1-θ)a-θbθ=0

得a=b，又

h＂(a)=θ(1-θ)a-1-θbθ

顯然，h＂(a)=θ(1-θ)a-1-θbθ>0，故當a=b時h(a)取得最小值h(b)=0 ．

∴h(a)≥h(b)=0

即a+θ(b-a)≥a1-θbθ

例3 設正數m,k滿足m≥2k．對于已知正數a,b，證明：

是k的增函數，且

實際上，任選表格中的幾個均值，把它們相加后除以均值的個數，其商也是分布在兩正數a,b之間的正數，即對于不全為零的自然數ni,i=1,2,…,6 ．形如

是兩正數a,b的均值．

3 結語

兩個正數均值的幾何模型把常見的幾個均值進行了簡潔直觀的排序，便于記憶和理解，而且可以得到a和b之間的新均值．由此產生的函數式

f(θ)=a+θ(b-a)(b≥a,θ∈[0,1])

表示了兩個正數的均值與這兩個正數a和b之間的本質聯系．另外，我們也發現

也同樣表示了兩個正數的均值與這兩個正數a和b之間的本質聯系．

[1]余元希,田萬海等.初等代數研究(下冊)[M].北京:高等教育出版社，1988.

[2]匡繼昌.常用不等式[M].濟南：山東科學技術出版社，2004.

[3]黃華平，胡松林.一個常見不等式的推廣及其應用[J].湖北師范學院學報(自然科學版)，2012,32(3):96～100.

All kinds of mean values on two positive numbers

XU Wang-bin,CHEN Jing-hua

(School of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

In this paper, a new geometric model on several average values for two positive numbers is obtained. A proof on mean value inequalities between two positive numbers is also given. Besides this, an expansion on them is still exhibited to illustrate the superioty of applications.

positive number;mean value;geometric model

2016—06—14

徐望斌(1965— )，男，湖北天門人，副教授，主要從事中學數學的教學研究.

O174

A

2096-3149(2017)01- 0093-04

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.01.019