錐b－度量空間中向量平衡問題解的存在性

吳賢璇，魯曉峰

( 廣東工業大學 應用數學學院，廣東 廣州 510520)

錐b－度量空間中向量平衡問題解的存在性

吳賢璇，魯曉峰

( 廣東工業大學 應用數學學院，廣東 廣州 510520)

研究了錐b-度量空間中向量平衡問題解的存在性問題.利用向量空間中的序方法證明了向量形式的Ekeland變分原理,并給出了錐b-度量空間上向量平衡問題解的存在性定理.結果表明,如果向量值函數上半連續且滿足向量形式的Ekeland變分原理的條件,那么向量平衡問題的解集非空。

錐b-度量空間;Ekeland變分原理;向量平衡問題

0 引言

向量平衡問題備受國內外學者的關注.基于非線性分析中廣泛使用的Ekeland變分原理[2],Bianchi等[2]構造實值函數將向量映射為非負數,指出向量平衡問題解集非空;Ansari[3]利用非線性標量函數解決了擬度量空間上的向量均衡問題;成波等[4]證明了度量空間上向量均衡系統的解的存在性;王月虎等[5]在考慮向量平衡問題的解時,巧妙地將Bianchi等[2]的方法應用在錐度量空間上.

至今,向量平衡問題的解決需要構造非線性標量函數,將向量問題轉化為數量問題.本文將文獻[5]中的錐度量空間和n維歐式空間分別推廣為錐b-度量空間[6]和賦范空間,利用向量空間中的序方法證明了向量形式的Ekeland變分原理[3],給出了錐b-度量空間[6]上向量平衡問題解的存在性結果.

1 預備知識

為了敘述方便，先引入本文所要用到的基本定義和已知結果.

定義1[7]設Y是一個賦范線性空間，θ是Y中的零元素,如果C是Y中的一個非空閉凸集,并且滿足下列兩個條件：

1)x∈C,λ≥?λx∈C;

2)x∈C,-x∈C?x=θ;

則稱C是Y中的一個錐.

定義2[7]在中給定一個錐C后，則可在Y中的元素間引入偏序：

y1≤y2?y2-y1∈C, ?y1,y2∈Y

y1≤y2?y2-y1∈intC, ?y1,y2∈Y

定義3[7]設C?Y,Z?Y,若對?x∈C,均有z≤x;同時,從z1≤x,(?x∈C),可推出z1≤z;則稱z是C的下確界，記為infC;若Y中任何有下界的錐C都具有下確界，則稱錐C是強極小錐.

定義4[6]令X是一個非空集合，Y是一個賦范空間，若d∶X×X→Y，滿足下列條件：

1)d(x,y)>θ,?x,y∈X,x≠y；d(x,y)=θ當且僅當x=y；

2)d(x,y)=d(y,x),?x,y∈X；

3)d(x,y)≤sd(x,z)+sd(z,y),?x,y,z∈X,(s≥1).

那么d稱為X上的一個帶有系數s的錐b-度量,同時稱(X,d)為錐b-度量空間.

注：很明顯，若條件3)中s=1，則不等式d(x,y)≤d(x,z)+sd(z,y)在錐度量空間中是滿足的；當s>1時，該不等式在錐度量空間中是不對的.因此，錐b-度量空間有效的推廣了錐度量空間，每一個錐度量空間是錐b-度量空間，反過來則錯誤。

定義5[6](X,d)是一個錐b-度量空間,令{xn}是(X,d)中的序列,x∈(X,d) ,則可以說{xn}是:

1)柯西序列，如果對?c∈Y且θ<0,對?n,m>N,有d(xn,xm)<

2)收斂序列，如果對?c∈Y且θ<0,對?n>N,有d(xn,x)<

這種情況下,xn的極限是x，即xn→x,(n→∞) .

定義6[6](X,d)是一個錐b-度量空間,

1)如果每個柯西序列都收斂，則(X,d)是完備的;

2)如果每個收斂列{xn}在(X,d)中有收斂子列，則(X,d)是序列緊致的.

定義7[5](X,d)令是完備的錐b-度量空間,Y是一個賦范線性空間,C是Y中的錐.

向量值函數f∶(X,d)→Y.

1)在x0∈(X,d)是擬下半連續,則對?x0c∈(X,d),b∈Y,有b/≥f(x0),存在x0的一個鄰域U,使得b/≥f(x),?x∈U.若f在(X,d)上每一個點都擬下半連續，則f在(X,d)上擬下半連續.

2) 在x0∈(X,d)是上半連續,則對x0∈(X,d),f(x0)的任意一個鄰域V,存在x0的一個鄰域U,使得f(U)?f(x0)+V-C.

定義8[5]令(X,d)是一個錐度量空間,K是(X,d)中的非空子集，則K的距離可以定義為：

引理1[8]令(X,d)是一個完備的錐b-度量空間,Y是一個賦范空間,C是Y中的錐 .f∶(X,d)→Y在(X,d)中是擬下半連續,當且僅當L(f,b)={x∈X,f(x)≤b}在X中是閉的,?b∈Y.

2 主要結果

所以對?ε>0,?N>0,當i>N時,

diam(Ki)<ε

由于Ki非空,可取xi∈Ki,i∈N+,對序列{xi}i∈N+有

即 ‖d(xi,yi)‖→0(i,j→∞)

所以d(xi,yi)→θ(i,j→∞)

因此{xi}i∈N+為柯西列.

定理2 令(X，d)是完備的錐b-度量空間,Y是一個賦范空間,C是Y中的一個強極小錐,f∶X×X→Y,假設下列條件滿足：

1)f(u,u)=θ,?u∈(X,d);

2)f(x,·)有下界，?x∈(X,d);

3)f(z,y)+f(y,x)∈f(z,x)+C,?x,y,z∈(X,d);

4)f(x,·)是擬下半連續，?x∈(X,d);f(·,y)是上半連續，?y∈(X,d).

證明 令F(x)={y∈(X,d)∶f(x,y)+εd(x,y)∈-C},?x∈(X,d),由條件1),4)和引理1,可知對?x∈(X,d),F(x)是一個非空且閉的集合.

假設y∈F(x),則f(x,y)+εd(x,y)∈-C,所以

(1)

假設,z∈F(y),則f(y,z)+εd(y,z)∈-C,所以

(2)

因為(X,d)是錐b-度量空間，所以對任意x,y,z∈(X,d),有

(3)

(4)

由(1)(2)可得

(5)

由(3)(4)(5)可得

所以f(x,z)+εd(x,z)≤θ

即f(x,z)+εd(x,z)∈-C,z∈F(x)

所以F(y)?F(x) .

所以f(x,z)≥v(x)

即 -f(x,z)≤v(x)

若z∈F(x),則存在一個κ∈C,使得

f(x,z)+εd(x,z)=-κ

所以 -f(x,z)-εd(x,z)=κ∈C

則εd(x,z) ≤f(x,z)≤-v(x)

(6)

對?x1,x2∈F(x),有

(7)

由(6)(7)可得，

從x0開始，構建一個序列xn,滿足xn+1∈F(xn),且有e∈C,使得

(8)

由條件3)可得f(z,x)≤f(z,y)+f(y,x) ,

(9)

由(9)及v(x)的定義可得:

(10)

由(8)(10)可得

當n→∞時,d(x1,x2)≤θ(n→∞) .

因為d(x1,x2)≥θ,所以當n→∞時,d(x1,x2)→θ. 由x1,x2的任意性,可知

注1 定理2的結論b)蘊含著

注2 若用X的非空閉子集K代替X,定理2的結論依然成立.

定理3 令(X,d)是完備的錐b-度量空間,Y是一個賦范空間,C是Y中的一個強極小錐,K是X中的非空緊集,f∶K×K→Y,假設下列條件滿足：

1)f(u,u)=θ,?u∈K;

2)f(x,·)有下界，?x∈K;

3)sf(z,y)+sf(y,x)∈f(z,x)+C,?x,y,z∈(X,d),s≥1;

4)f(x,·)是擬下半連續，對?x∈K;f(·,y)是上半連續，?y∈K；

由定理2注1可知,對任意n∈N,?xn∈K,有

(11)

相反地,假設存在y*∈K,使得

f(xnk,y*)∈-intC

所以當nk足夠大時,有

而這與(11)矛盾,因此,

推論 若定理2中(X,d)為序列緊的完備錐b-度量空間,顯然向量平衡問題的解集非空.

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Existence of solutions for vector equilibrium problems in coneb-metric spaces

WU Xian-xuan, LU Xiao-feng

(Guangdong University of Technology, School of Applied Mathematics, Guangzhou, Guangdong 510520)

This paper studies the existence of solutions for vector equilibrium problems in coneb-metric spaces. By using the vector ordering method, we prove a vector form of Ekeland’s variational principle and give the existence theorem of vector equilibrium problems in coneb-metric spaces. Our results show that, if the vector-valued function is upper semi-continuous and satisfies assumptions of the vector form Ekeland’s variational principle, then the set of solutions for the vector equilibrium problem is nonempty.

coneb-metric space; Ekeland’s variational principle; vector equilibrium problem

2016—08—23

國家自然科學基金(10871052),非線性分析中的一些問題.

吳賢璇(1991— ),女,漢族,廣東省汕頭市人,碩士研究生,研究方向非線性泛函分析.

O151

A

2096-3149(2017)01- 0056-05

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.01.012