非線性分段連續型延遲微分方程的變分迭代解法

陳 玲，王 琦，汪圣祥

(廣東工業大學 應用數學學院 ，廣東 廣州 510520)

非線性分段連續型延遲微分方程的變分迭代解法

陳 玲，王 琦，汪圣祥

(廣東工業大學 應用數學學院 ，廣東 廣州 510520)

主要利用變分迭代法求解自變量分段連續型延遲微分方程的初值問題，由變分理論得到了拉格朗日乘子，進而構造了迭代關系式，在不同的區間上求得了各階解析近似解，并且證明了變分迭代解是收斂的，最后，數值算例驗證了理論結果。

變分迭代方法；拉格朗日乘子；限制變分；解析近似解

0 引言

近年來，變分迭代方法被廣泛地應用于求解線性和非線性微分方程，越來越多的科研人員采用這種方法得到各種方程的近似解，從而顯示出變分迭代方法在工程實際中的重要作用。用變分迭代法求解非線性問題時，不需要對方程的非線性部分進行離散化、線性化或者引入攝動參數，從而減少了計算量。變分迭代方法由何吉歡[1-3]首次提出后迅速發展，人們用變分迭代法求解了許多微分方程的近似解，都得到了令人滿意的結果。2010年，Shang[4]研究了n階的積分微分方程，實例結果證明變分迭代法比同倫攝動法簡單和有效。2011年，Lu J F[5]應用變分迭代法求解了Fornberg-Whitham方程，驗證了此方法求解該方程的可靠性和有效性.2012年，李歆[6]介紹了變分迭代法求解中立型微分方程，從理論上證明該方法的收斂性。2013年，姜兆敏[7]利用變分迭代法得到常微分方程初值問題的無窮級數解，對于線性微分方程初值問題，無窮級數解收斂于精確解。2014年，代群[8]等用變分迭代法求解了一類分數階微分方程組，并改進了校正函數，驗證了此方法求分數階微分方程組的近似解是有效的且準確。

到目前為止，筆者并沒有注意到變分迭代法被用于求解自變量分段連續型延遲微分方程，因此，本文針對一類非線性自變量分段連續型延遲微分方程，用變分迭代法進行求解，證明了解析近似解的收斂性，并用數值實驗驗證了方法的有效性。

1 自變量分段連續型延遲微分方程的變分迭代解

本文主要考慮下面的微分方程：

(1)

其中a和c0是常數，[·]表示最大取整函數。

根據變分迭代方法的基本思想[9,10]，構造如下的修正泛函：

將xn(s)xn([s])視為限制項，根據變分理論，得

由分部積分得

則穩定性條件為

(2)

由(2)確定出λ(s)=-e-a(s-t)，則迭代格式為

(3)

當t∈[0，1)時，迭代格式變為

(4)

選取x0,0(t)=x(0)=c0為初始迭代值，則有

定理1 當t∈[0，1)時，方程(1)的n+1(n+0,1,2,…)次迭代結果的表達形式如下

證明 用數學歸納法證明：當n=0時，成立 .

假設當n=k(k≥1)時成立，即

下面證明當n=k+1也成立，由迭代公式(4)得

(5)

把x0,k+1(t)和x0,k+1(0)代入上式，經計算，得

則

進而有

代入(5)式得

即x0,n+1(t)是正確的。

對n+1次迭代的結果進行變形得：

當t∈[1，2)時，迭代格式變為

定理2 當t∈[i，i+1)(i=0,1,2, …,n)時，方程(1)的n+1(n=0,1,2,…)次迭代結果為

(6)

證明 當t∈[i，i+1)(i=0,1,2, …,n)時，迭代格式變為

(7)

由i取0和1可以歸納出

下面用數學歸納法來證明：當i=0時，成立 .

假設當i=k(k≥1)時成立，即

下面證明當i=k+1時也成立，由迭代公式(7)得

選取xk+1,0=ck+1=cke(1-ck)a

即xi,k+1(t)正確。

2 數值實驗

在本節中，我們將通過誤差分析和一個具體實例來說明用變分迭代法的有效性。

定義1 設當t∈[i，i+1)時，后一次迭代與前一次迭代的誤差函數為gi,(n+1)n(t)，則

gi,(n+1)n(t)=xi,n+1(t)-xi,n(t)

即

例 考慮如下非線性自變量分段連續型延遲微分方程

當t∈[1，2),誤差(g1,(n+1)n(t)的絕對值)的變化由表1給出。

表1 t∈[1，2)時的誤差

當t∈[2，3),誤差(g2,(n+1)n(t)的絕對值)的變化由表2給出。

表2 t∈[2，3)時的誤差

當t∈[8，9),誤差(g8,(n+1)n(t)的絕對值)的變化由表3給出。

表3 t∈[8，9)時的誤差

續表3

t88．28．48．68．89n=1306．68E-521．34E-512．14E-501．01E-481．91E-47n=1402．61E-545．22E-542．61E-541．59E-523．77E-51n=1501．02E-561．53E-560．00E+002．04E-566．98E-55n=1601．99E-591．99E-590．00E+001．99E-591．19E-58n=1701．17E-617．78E-620．00E+000．00E+000．00E+00n=1803．04E-643．04E-641．52E-641．52E-641．52E-64n=1905．93E-671．19E-660．00E+005．93E-670．00E+00n=2002．32E-693．48E-691．16E-691．16E-690n=2104．53E-724．53E-720．00E+004．53E-720n=2201．77E-741．77E-740．00E+008．84E-758．84E-75

當t∈[14，15),誤差(g14,(n+1)n(t)的絕對值的變化由表4給出。

表4 t∈[14，15)時的誤差

從表1～4可以得到當t一定時誤差隨著n的增大越來越趨于0，這說明隨著迭代次數的增加，后一次迭代和前一次迭代的結果越來越接近，從而可以得到方程在所考慮區間內的近似解。

3 結論

本文主要用變分迭代法求解了一類自變量分段連續型延遲微分方程，數值結果表明，該方法適用于求解分段連續型延遲微分方程，今后將進一步考慮高維情形，以期推廣該方法的應用范圍。

[1]He J. A new approach to nonlinear partial differential equations[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 1997, 2(4): 230～235.

[2]He J H. Variational iteration method-a kind of non-linear analytical technique: some examples[J]. International journal of non-linear mechanics, 1999, 34(4): 699～708.

[3]He J H. Variational iteration method for autonomous ordinary differential systems[J]. Applied mathematics and computation, 2000, 114(2): 115～123.

[4]Shang X F,Han D F.Application of the variational iteration method for solving nth-orderintegro-differential equations.Journal of Computers and Applied Mathematics,2010,234:1442～1447.

[5]Lu J F.An analytical approach to the Fornberg-Whitham type equations by using the variational iteration method[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,61:2010～2013.

[6]李 歆.延遲微分方程的變分迭代法[D]. 武漢：華中科技大學, 2012.

[7]姜兆敏.常微分方程初值問題的變分迭代算法[J].長春工業大學學報(自然科學版),2013,34(1):9～12.

[8]代 群,王長佳,李輝來，等.用變分迭代法解分數階微分方程組[J].吉林大學學報(理學版),2014,(5):901～905.

[9]He J H.Variational Iteration Method;A Kind of Non-linear Analytical Technique:Some Examples[J].Internat J Non-linear Mech,1999,34(4):699～708.

[10]He J H.Variational Iteration Method for Autonomous Ordinary Differential Systems[J].Appl Math Comput,2000,114(2/3):115～123.

Variational iteration method for nonlinear differential equation with piecewise continuous arguments

CHEN Ling,WANG Qi,WANG Sheng-xiang

(School of Appliced Mathematics,Guangdong University of Technology,Guangzhou 510520,China)

This paper deals with the problem of using variational iteration method to the initial value problem of delay differential equation with piecewise continuous arguments. The lagrange multiplier is obtained according to the theory of variation, then the iteration formula is constructed. Moreover, the analytical approximation solutions in different intervals are given and the convergence is proved. Finally, the theoretical results are verified by some some numerical examples.

variational iteration method; lagrange multiplier; restricted variation; analytical approximation solution

2016—06—08

陳玲(1990— ) ，女，湖北孝感人，碩士研究生，研究方向為自變量分段連續型延遲微分方程.

O161

A

2096-3149(2017)01- 0027-08

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.01.007