擴展的朗格繆爾模型在沉降預測中的應用研究

孔 洋，阮懷寧，黃雪峰

擴展的朗格繆爾模型在沉降預測中的應用研究

孔 洋1，阮懷寧1，黃雪峰2

（1.河海大學 巖土工程科學研究所，江蘇 南京 210098；2.蘭州理工大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730050）

依據三個不同行業工程的現場實測數據，利用常用的幾類沉降預測模型與最近幾年學者提出沉降預測新方法，提出在沉降預測中適用性較強的擴展的朗格繆爾模型。經對比分析驗證，該模型具有精度高、可靠性高、適用性強的特點，可以推廣使用。

沉降預測；擴展的朗格繆爾模型；新模型；高填方工程；沉降量與時間關系

沉降預測是工程項目設計、施工與使用階段的重要研究內容，沉降預測方法主要包含兩個方面，第一類是基于土的固結理論，利用室內試驗得出的數據并結合各種土的本構模型，進行沉降量預測。但室內試驗的預測方法并不可靠，僅可以作為設計、施工的參考。第二類是基于現場的初期實測數據，利用沉降預測模型對總沉降以及工后沉降進行預測。王麗琴等[1-2]由冪函數分析提出了適用于黃土路基工后沉降預測的似固結模型；趙明華等[3]基于成長曲線，提出表示沉降-時間關系的Usher模型，Usher模型具有較高的適用型；陳遠洪等[4]根據泰勒公式提出冪多項式模型，適用于軟土路堤的工后沉降預測，低階數值就可以獲得較高的精度；陳善雄等[5]把三點法的理論引入指數曲線模型提出了三點修正的指數模型，適用于預測沉降量數值較小、沉降數據起伏波動比較大的情況。沉降預測模型還包含三參數沉降預估模型、六參數沉降預估模型、灰色理論、神經網絡法等[6-14]，但這些模型在不同工程中的適用性不盡相同，故沉降預測模型研究尚未形成統一的理論體系。本文依據三項工程的現場實測數據，利用工程上常用的幾類沉降預測模型與最近幾年學者提出的新辦法，提出在沉降預測中適用性較強的擴展的朗格繆爾模型，通過其分析在實際工程中的應用效果，確定該模型的合理性。

1 擴展的朗格繆爾模型的建立

1.1 理論基礎

根據土力學理論，典型的沉降-時間曲線表現為沉降量瞬時線性增加，初期逐漸增加，中期加速增加，后期緩慢增加到某一極限值，現場實測的沉降-時間曲線也表現出高度的非線性的遞增關系。高路堤，高填深溝谷、邊坡等項目的出現，凸顯了高填方工程中工后沉降預測的重要性。工后沉降預測模型的建立，基本都是以公式（1）為基礎，公式（1）的表示形式如下所示[1-2]。

其中：St為所求任意時刻的沉降量；Si為瞬時沉降量；S∝為最終沉降量；f(t)為待定的時間函數。

工后沉降預測是假設瞬時沉降量為0，可得：

由公式（2）及大量實測時間-沉降曲線的特征可以看出，沉降預測模型建立的實質是構造一個值域為[0，1]且單調遞增的凸函數f(t)。

1.2 提出新模型

美國人朗格繆爾在1916年推導出朗格繆爾等溫吸附式：q=bp/(1+bp)，引入參數c，可得

通過計算一階、二階導數可以看出當b ＞ 0時，是值域為[0，1]且單調遞增的凸函數。則沉降量與時間關系的表達式為

其中：a為最終沉降量S∝，b＞0，c＜0。公式（4）即為擴展的朗格繆爾模型。1.3 新模型特點

通過對模型的簡單分析可以看出該模型通過原點，曲線單調遞增（St'＞0），有界（t→0，St→a），改變參數時具有良好的適用性。

1.4 新模型求解

最小二乘法是一種常用的數學優化辦法，在非線性曲線的擬合中應用廣泛，本文求解待定的a、b、c即是采用此類辦法。

由最小二乘法擬合的定義：在函數S(t)的最優平方逼近中，如果函數僅在定義域內的某個離散的集合{ti，i=0，1，2，…，n}上給定，即是數據(ti，Si)在集合{ti，i=0，1，2，…，n}上的曲線擬合。最小二乘法擬合的原則是使總殘差平方和的值為最小，假定擬合函數為S*(t)，則擬合殘差ei為ei=S(ti)-S*(ti)，其中i=0，1，2，…，n，同時e=(e0，e1，…，en)T，假設φ0(t)，φ1(t)，…，φn(t)是函數定義域上線性無關的函數，在φ=span{φ0(t)，φ1(t)，…，φn(t)}上構造擬合函數S*(t)，使總殘差的平方和最小，殘差平方和的表示形式：

一般最小二乘法擬合中都會考慮定義域上的加權函數ω(ti)，構成殘差的加權平方和，加權函數是表示不同點數據的比重差異，然后將殘差的加權平方和轉化為求多元函數極小值點(a0*，a1*，…，an*)的問題，多元函數的表達形式：

多元函數求極值的必要條件是一階導數為零，

假定擬合曲線中數據(ti，Si)的殘差平方和為I，分別求得I對a、b、c的偏導數并令其分別等于0，則可以得到關于a、b、c的三元非線性方程組，求解此方程組即可。

Matlab軟件具有強大的處理功能，通過建模，并使用求和命令、求偏導數命令、化簡函數命令、用迭代的方法求解三元非線性方程組的命令等，即可求解a、b、c。Origin軟件使用基于LMA算法的非線性的最小二乘法擬合，只要在公式命令中輸入擬合模型，在大量實測數據的基礎上可以自動給出最佳的擬合數值。

2 工程實例

2.1 公路軟土路基

某公路路基主要是軟土路基，設計、施工中為了減少路基的沉降量采用了等載預壓的方式，從2002年8月19號至2002年12月14號為止的80天內，對NH標k95+520斷面進行了沉降觀測，路堤分八層填土，累計高度為5.70 m[3]，依據本次監測數據，本文對比分析了趙明華等[3]提出的Usher模型以及Logistic、Gompertz模型，并采用擴展的朗格繆爾模型得到沉降-時間關系曲線如圖1所示。

圖1 實測曲線與各模型預測曲線示意圖Fig.1 Schematic diagram of the measured data curve and the predicted data curve of each model

由圖1可以看出：擴展的朗格繆爾方程，最大相對誤差值僅為5.20%，且相對誤差的絕對值＞5.00%的僅有兩個點，其他均在2.72%以下，預測精度明顯高于其他模型，并且殘差平方和也明顯小于其他模型，因此不論在預測的相對誤差或在殘差平方和方面，其擬合效果都好于Logistic模型、Gompertz模型與Usher模型。

從實測曲線的走勢來看，擴展的朗格繆爾方程也可以很好的反映實際曲線的發展情況，對于某一特定時間的沉降量或者最終沉降量預測都具有較高的精度。

基于以上幾點優勢，本文認為擴展的朗格繆爾方程在公路軟土路基的沉降預測方面具有良好的適用性。

2.2 鐵路黃土路基

某鐵路處于濕陷性黃土地區，設計、施工中為了減少路基的沉降量采用了灰土擠密樁法進行加固，從2004年8月18號至2006年11月1號為止的805天內，對DK101+070斷面進行了沉降觀測[1,2]，依據本次監測數據，本文對比分析了王麗琴等[1,2]提出的似固結模型與常用經典模型，并采用擴展的朗格繆爾模型得到沉降-時間關系曲線如圖2所示。

從圖2可以看出：泊松模型預測結果與實際值相差較大，且殘差平方和為所用模型中最大的；指數法模型預測結果的殘差平方和比泊松模型小很多，說明指數法相對較優，但是從圖1中發現指數預測曲線在觀測期約為500 d之前的預測結果與實測沉降有較大偏差，不是最優的擬合模型。

似固結模型預測的沉降結果殘差平方和小，預測曲線與實測曲線的擬合程度非常接近，預測精度高于前述模型，說明可以應用在鐵路路基沉降預測。

圖2 實測曲線與各模型預測曲線示意圖Fig.2 Schematic diagram of the measured data curve and the predicted data curve of each model

擴展的朗格繆爾方程的預測曲線與似固結模型的預測曲線幾乎是重合的，同時殘差平方和與相對誤差值相對較低，說明擴展的朗格繆爾模型有不低于似固結模型的預測精度。

基于以上幾點優勢，本文認為擴展的朗格繆爾方程在鐵路黃土路基的沉降預測方面具有良好的適用性。

2.3 寬谷機場高填方

某黃土機場高填方場地地貌復雜，人工填土主要是粉質粘土、砂和卵礫，沖洪積粉質粘土與含粉質粘土層主要分布在谷底，同時周圍有風成型黃土分布，從2002年10月中旬到2003年分3月進行了為期5個月的沉降觀測[6]。依據本次監測數據，本文對比分析了常用經典模型與擴展的朗格繆爾模型，得到沉降-時間關系曲線如圖3所示。

由圖3可以看出：各模型的擬合數據與實測數據差值都不大，基本上可以反映實測曲線的實際發展情況。對比各模型最大相對誤差值與殘差平方和發現，擴展的朗格繆爾模型是其中精度最高的，在觀測前期與末期，此類模型的擬合效果都是最佳的。

圖3 實測曲線與各模型預測曲線示意圖Fig.3 Schematic diagram of the measured data curve and the predicted data curve of each model

沉降模型的選擇要根據填料的變形特性選擇，對于砂礫石要根據壓縮流變曲線選擇合適的模型。

基于以上分析，本文認為擴展的朗格繆爾方程在溝谷型高填方地基的沉降預測方面具有良好的適用性。

3 結語

1）在本文對比分析的10種預測模型中，擴展的朗格繆爾模型是精度最高，穩定性最好，適用性最強的預測模型。

2）擴展的朗格繆爾模型可以應用在公路軟土路基、鐵路黃土路基、寬谷型機場高填方等建設項目的總沉降量、沉降與時間的關系等方面作出預測，具有很強適用性，可以推廣使用。

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（責任編輯 王利君）

Study on application of the Extended Langmuir Model on construction settlement prediction

KONG Yang1, RUAN Huaining1, HUANG Xuefeng2
(1. Institute of Geotechnical Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China; 2. School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Based on the field measured data from three projects in different industries, by the use of several types of commonly used settlement prediction model and the new prediction method proposed in recent years, this paper proposes the Extended Langmuir Model of settlement prediction with a widely applicability. Through the comparative analysis and validation, the model has the advantages of higher accuracy, reliability and applicability, so that, it can be widely used.

settlement prediction; the Extended Langmuir Model; new model; high-filled project; the relationship between settlement and time

TU47

A

1673-9469（2017）02-0022-04

10.3969/j.issn.1673-9469.2017.02.005

2017-03-17

中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目（2016B43414）

孔洋(1989-)，男，山東寧陽人，博士，主要從事特殊土工程性狀與柱狀節理巖體水力特性方面的研究工作。