知困而后教

朱鋸正

摘 要：教師在教學乘法分配律時總有這樣的感悟：在教學中精心準備，但教學效果卻不理想。究其原因是教師在教學過程中沒有找到學生學習乘法分配律時真正困難。用“乘法算式”參加“加法算式”的童話故事入手，揭示加法和乘法的本質聯系，接著在情境和算理的雙重支撐下，揭示乘法分配律的本質內涵，然后通過乘法的豎式計算、長方形的周長公式等例子，以新引舊，以舊促新。整個設計從學生的角度考慮，把教學落實到學生的困難處，讓學生真正學透乘法分配律。

關鍵詞：本質；乘法分配律；乘法意義

近年來，對于“乘法分配律”這一內容，有不少新的教學設計在運用不完全歸納法得出規律的嚴密性方面都下了不少工夫。但是熱鬧過后，卻總感覺有些遺憾：學生在運用乘法分配律時總是死記硬背，對乘法分配律的應用只停留在“形”上面，而沒有進入“質”的層面。有些學生甚至到了六年級仍舊是錯誤百出，不能靈活應用。為什么教材中早有孕伏（乘法的豎式計算、長方形的周長公式），教師在教學中也要精心準備，但教學效果卻不理想呢？究其原因，主要有以下兩個方面。

第一，學生對加法和乘法的本質聯系認識不到位。首先，在學生的認識中，加、減、乘、除四種運算是相互獨立的，而且涇渭分明。其次，學生在以往的學習經歷中，缺乏把4個數參與的運算改變成3個數運算的經歷，也沒有把3個數參與的運算改變成4個數運算的經驗。因此，學生還停留在原來是幾個數，現在仍然是幾個數的經驗之下，于是便出現了最常見的錯誤形式：a×（b+c）=a×b+c。

第二，學生對乘法分配律的本質認識不到位。翻閱人教版、蘇教版、北師大版、西師大版教材，教材基本按照分析題意、列式解答、講述思路（從實際問題情境的具體意義的角度）、觀察比較、總結規律等層次進行，教師也基本按照以上步驟進行教學，這樣很容易使學生把目光局限在數字及符號等表面變化上，對乘法分配律的理解也只停留在模仿上，沒有進入“質”的層面。因此，有些學生會將乘法結合律和乘法分配律相混淆，而對變式題更是無從下手。

乘法分配律的本質是加法和乘法的合并，加法和乘法的本質聯系是乘法和加法的簡便計算，促使學生對這兩個本質充分而深刻的理解是上好這堂課的邏輯基礎。因此，教師在教學設計時應圍繞這兩點展開。

環節一：引入故事，激發學生興趣

師：（課件出示數學王國的王宮大門）數學王國的國王為了感謝所有的加法算式所做出的巨大貢獻，決定專門為加法算式們舉行一場盛大的舞會。加法算式們紛紛結伴來到了王宮。突然，王宮門口傳來了一陣爭吵聲，原來是看門的衛兵攔住了一位來賓（課件出示2×3）。這可急壞了2×3。你們知道衛兵為什么不讓2×3進去嗎？

生1：因為它不是加法算式。

師：你們能想個辦法讓它進去嗎？看它多可憐呀！

生2：把“×”改成“+”。

生3：不行，把“×”改成“+”那就不是2×3了。

生4：我覺得應該改成3+3或者2+2+2，因為乘法是加法的簡便算法，這樣改雖然樣子變了，但是意義沒有變，還是2×3。

簡析：一般的教學設計往往直接呈現主題圖，按照分析題意、列式解答、講述思路、觀察比較、總結規律等層次進行教學，從而忽視了學生對四則運算的已有認識，大多數學生認為：加、減、乘、除四種運算涇渭分明，更別說加法和乘法之間可以相互轉化了。乘法分配律的本質是加法和乘法的合并，這是學生學習乘法分配律的難點之一。而這一環節以美麗的數學王國中發生的童話故事（乘法去參加加法舞會的故事）為切入點，用優美的畫面、富有生命的數學算式、擬人化的情節設計，使學生在愉悅的氛圍中開始新知識的學習，激發他們的學習興趣。

環節二：鏈接乘法意義，建構完整體系

1.觀察兩組算式左右兩邊各自的特征

引導學生得到：左邊的算式都有一個括號，先算出和再乘一個數；右邊的算式是先算出兩個數的積，再將積加起來。

2.引導學生驗證，將左右兩邊的算式組成等式

教師提問：同學們，對應的兩道算式只是我們用不同的思路解決了同樣的問題，按理它們的結果應該是相等的，那兩邊算式結果究竟等不等，我們怎樣才能知道？（計算）

3.從乘法意義的角度揭示乘法分配律的內涵

師：剛才我們從實際問題情境的具體意義的角度和計算分析了每組左右兩邊的結果相等，你能從算式的意義上來說一說嗎？

生：右邊算式表示的是250個5加100個5，合起來是350個5；左邊的算式正好也是350個5，所以是相等的。

4.總結規律，揭示課題

5.用字母表示乘法分配律

簡析：學生經常會出現分配不均、乘法分配律和乘法結合律相混淆的錯誤，究其原因，其實是因為對乘法算式意義的不理解，對乘法分配律死記硬背，而沒有真正理解乘法分配律的內在數學意義。于是在教學中，我將乘法分配律的學習放到乘法意義的框架之下，使學生認識到可以把算式中的幾個幾和幾個幾進行合并，以便達到使計算簡便的效果。這樣在情境和算理的雙重支撐下，學生對乘法分配律的理解就不再停留在“形”的上面，而是進入“質”的層面。

環節三：回顧舊知，加深定律理解

1.回顧兩位數乘兩位數的筆算

師：其實說起乘法分配律，大家并不陌生，在我們以前的學習中就已經接觸過，現在讓我們一起回顧一下。這是我們在三年級下冊學習“兩位數乘兩位數的筆算”，教材出示了兩種不同的計算方法。你從中能找到乘法分配律的影子嗎？（課件出示豎式）

生：12可以分成10和2，10個24和2個24加起來正好是12個24，所以24×12=288。

師：將這種想法用等式表示出來就是24×12=24×（10+2）=24×10+24×2=288，這樣的想法不正符合我們剛學的乘法分配律嗎？

2.回顧長方形周長的計算

師：三年級，我們學習了長方形周長（課件出示周長計算方法），你能看到乘法分配律的影子嗎？

簡析：一般的教學在探索歸納出乘法分配律后都直接用練習進行鞏固，但事實上學生對乘法分配律的認識還不是那么深刻，學生仍舊處于乘法分配律是一個全新知識的狀態。而在這一環節中，通過回顧兩位數乘兩位數的豎式計算、長方形的周長公式這些例子，進一步說明為什么乘法分配律左右兩邊的式子是相等的，乘法分配律得到進一步的驗證，同時使學生對乘法分配律有一種親切感，也增強了學生運用乘法分配律的信心。（原來我們早就在用啦?。┻@樣以新引舊，以舊促新，不僅讓學生感受到知識間的內在聯系，而且對乘法分配律的本質也實現了進一步的感悟。

這一新的教學設計從學生感興趣的故事入手，調動學生的積極性，接著從實際問題情境的具體意義和乘法的意義兩個方面學習乘法分配律，在情境和算理的雙重支撐下，學生更能把握乘法分配律的本質含義，接著以新引舊，以舊促新，讓學生進一步感悟乘法分配律的本質。

在教學中，教師在看到問題表面的同時，更應追尋問題的根源，從學生的角度考慮問題，走進學生的思維世界，把握學生的思維脈絡，把教學落實到學生的困難處，這樣才能讓學生真正學好、學會、學透。

參考文獻：

[1]盧江.義務教育教科書教師用書[M].人民教育出版社，2014-10.

[2]楊淑萍.名師同步教學設計[M].山西教育出版社，2012-01.