具有三個種群的食餌捕食者模型

馮廷碧+陰宇輝+陳玉雪+汪忠忠+羅習賓

550018 貴州師范學院數學與計算機科學學院 貴州貴陽

【摘 要】本文主要是在考慮具有三個種群的Volterra模型基礎上，初步考慮哺乳動物和爬行動物自身的阻滯作用，利用Matlab軟件得到其圖像，最后進一步考慮植物自身的阻滯作用，加入logistic項，同時利用Matlab軟件得出其運行軌跡，判斷穩定性。

【關鍵詞】Volterra模型；Matlab軟件；logistic項；改進模型

20世紀20年代著名意大利數學家Volterra建立了一個簡單的數學模型，回答了意大利生物學家DAncona提出的問題。食餌的繁殖力下降，會造成捕食者的數量減少，但是其掠取能力卻會增加；捕食者的死亡率上升會導致食餌增加，食餌供養捕食者的能力增加會使食餌減少。為后來數學家和生物學家建立食餌-捕食者模型系統打下基礎。我們把Volterra建立的這種簡單的只有兩個種群的模型稱作Volterra模型，這種模型雖然能解釋一些現象，但是Volterra模型存在描述的周期變化狀態不是穩定結構等缺點，為了滿足人類自身生存與發展的需要，對資源進行合理的開發和管理。人們一方面對種群的發展變化做定量的分析與預測，另一方面是通過對模型的研究判斷出付出多大的捕獲量，即可維持生態平衡，又能獲得最大收益。所以研究具有三個種群的食餌-捕食者模型有重大意義。

1Volterra食餌-捕食者模型

一個島嶼上棲居著食肉爬行動物和哺乳動物，又長著茂盛的植物，爬行動物以哺乳動物為食，哺乳動物又依賴植物生存，建立三者之間關系的模型。

植物，哺乳動物，爬行動物在t時刻的數量分別記住x1（t），x2（t），x3（t）。假設不受環境等因素影響，（相對）增長率為r1，又因為哺乳動物的存在使得植物的增長率減小，設減小的程度與哺乳動物數量成正比。

哺乳動物離開植物就無法生存，設它獨自生存時的死亡率為r2，而植物為哺乳動物提供食物，降低哺乳動物的死亡率，并且促進哺乳動物增長，設這種作用與植物數量成正比，又因為爬行動物的存在對哺乳動物的增長減小，設這種減小程度與哺乳動物的數量成正比，于是x2（t）滿足x2（t）=x2（-r2+bx-λx3）比例系數b反映植物對哺乳動物的供養能力，λ反映爬行動物對哺乳動物的掠取能力。

同理，設爬行動物獨自生存時的死亡率為r3，而哺乳動物為爬行動物提供食物，從而減低爬行動物的死亡率促進爬行動物增長，設這種作用與哺乳動物數量成正比，于是x3（t）滿足方程x（t）=x3（-r3+cx2）

比例系數c反映哺乳動物對爬行動物的供養能力。

數值解：

記植物，哺乳動物，爬行動物的初始數量分別為x1（0）=x11，x2=x22，x3（0）=x33并作圖及軌線圖，編程如下：

functionxdot=shier（t，x）；

r1=1；r2=0.5；r3=0.6；a=0.1；b=0.02；c=0.05；lambda=0.004；

xdot=[（r1-a*x（2））.*x（1），（-r2+b*x（1）-lambda*x（3））.*x（2），（-r3+c*x（2））.*x（3）]；

[t，x]=ode45（‘shier，[0，20]，[100，25，5]）；

plot（t，x（：，1），*，t，x（：，2），-，t，x（：，3），：），

legend（‘x（1），x（2），x（3））

grid

plot3（x（：，1），x（：，2），x（：，3）），grid

可以猜想x1（t），x2（t），x3（t）是周期函數，從圖中可以得出x1（t），x2（t），x3（t）的最大值分別為125.6，28.2，29.1。最小值分別為2.5，1.5，2.1。容易得出x1（t），x2（t），x3（t）在一個周期的平均值為64，30，15.6。總體上看出模型趨于某種平衡狀態，存在穩定的平衡點，這是Volterra模型的特點，但是在現實生活中多數的食餌-捕食者模型都觀察不到Volterra模型的那種周期，而且Volterra模型容易受數值的影響。所以我們需要改進模型。

2初步模型改進

自然世界中植物的生長由于受到人為的保護，且人們大量的植樹造林，所以假設植物的獨自生長時其數量的增長服從指數增長規律，哺乳動物，爬行動物獨自生長是有自身的阻滯作用，服從logistic變化規律。

同樣將植物，哺乳動物，爬行動物在t時刻的數量記為：x1（t），x2（t），x3（t）。

同理，植物在獨自生存時x1（t）滿足：x（t）=x1（r1-ax2）

哺乳動物服從logistic規律，于是可得到哺乳動物增長的方程類似的，哺乳動物的存在也影響了爬行動物的增長，也可以得到爬行動物的方程，它們就是是自然界中食餌和捕食之間的關系，這里考慮到了種群自身的阻滯作用。

數值解：

設初值條件，利用Matlab軟件編程，雖然植物，哺乳動物，爬行動物的數量，在某一時刻會發生波動，但是在受到干擾之后還是會趨于某一時刻趨于穩定。

此模型具有局限性，因為達到穩定狀態的情況下，這三個種群都滅絕了，說明以上假設不能客觀反應自然界中植物，哺乳動物，爬行動物之間內在的聯系。

3模型的進一步改進

假設植物，哺乳動物，爬行動物存在自身阻滯作用，滿足logistic規律，同樣將植物，哺乳動物，爬行動物在t時刻的數量記為：x1（t），x2（t），x3（t）。

3.1模型建立

有植物，哺乳動物，爬行動物三個種群，當他們獨自生存時，數量滿足logistic規律，r1，r2，r3是它們的固有增長率，N1，N2，N3自然世界對它們的最大容量。利用Matlab軟件求微分方程的數值解，做出圖像，然后從理論上研究平衡點。

3.2數值解

利用Matlab編程如下：

編寫.m文件

functionxdot=shier（t，x）；

r1=0.6；r2=0.5；r3=0.6；ct（1）=0.5；ct（2）=0.6；ct（3）=0.6；ct（4）=0.6；N（1）=600；N（2）=100；N（3）=15；

xdot=[r1*（1-x（1）/N（1）-ct（1）*x（2）/N（2））.*x（1），r2*（-1+ct（2）*（x（1）/N（1））-x（2）/N（2）-ct（3）*（x（3）/N（3）））.*x（2），r3*（-1+ct（4）*（x（2）/N（2））-x（3）/N（3））.*x（3）]；

在操作窗口輸入：

[t，x]=ode45（'shier'，[0，10]，[300，100，25]）；

plot（t，x（：，1），*，t，x（：，2），-，t，x（：，3），：），

legend（‘x（1），x（2），x（3））

grid

這個模型比很好的解決了第一個模型和第二個模型的局限性，較好的反映了，自然世界中，這三個種群的內在聯系。

3結論

自然世界中，瞬息萬變，雖然在Volterra模型的基礎上加入了服從logistic規律的項，較好的反映出在自然環境中食餌和捕食者之間的依存和制約關系。但是卻不能完全的說明物種的生存關系，所以還需要大量學習。

參考文獻：

[1]劉漢武，王榮欣.具有性別結構的食餌-捕食者模型[J].2005.

[2]張天然.具有兩性的捕食者-食餌模型的漸近形態[J].2005.

[3]王靜，王克.比率型-捕食者-兩競爭食餌模型的動力學行為[J].2004.

作者簡介：

馮廷碧（1992～），女，貴州人，貴州師范學院數學與應用數學專業學生。

基金項目：貴州師范學院學生科研項目基金（2014DXS083）。