聚焦數列熱點題型

■浙江省杭州市蕭山區第三高級中學 陳建華

聚焦數列熱點題型

■浙江省杭州市蕭山區第三高級中學 陳建華

數列是數學高考的重點內容,高考對數列的考查非常全面,既有對等差數列、等比數列的定義以及性質的考查,又有對數列與指數函數、對數函數和不等式的綜合考查,還把極限思想和數學歸納法融入等差數列、等比數列中進行考查。新課標高考關于數列考點的命題,主要有以下幾個方面：(1)對數列有關定義,等差數列、等比數列基本性質,基本運算的考查,常以選擇題、填空題的形式出現,屬容易題;(2)由簡單遞推式求數列的通項公式,進而求數列的前n項和,考查化歸思想與幾種常見數列求和類型的熟練程度,常以解答題形式出現,屬中檔題;(3)數列與其他知識的結合,有數列與函數、方程、不等式、解析幾何的結合,以壓軸題形式出現,其中以數列與函數、不等式的綜合最為常見。

考點一 等差、等比數列的判定

例1 (2 0 1 5屆銀川一中高三第三次月考)已知數列的首項是等比數列。解析：因為

考點二 等差、等比數列的基本運算與性質的運用

例2 (2 0 1 5屆四川省綿陽市高三第一次診斷性考試)記公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn,S3=9,a3,a5,a8成等比數列。

(1)求數列{an}的通項公式an及Sn。

解析：①根據已知條件可求出等差數列的首項與公差,從而求得an和Sn。

②若數列cn{}為單調遞減數列,則cn+1N*恒成立,由此得λ的取值范圍。

(1)由S3=9,a25=a3·a8,得：

解得a1=2,d=1。

若cn{}為單調遞減數列,則：

N*恒成立。

考點三 數列通項公式的求法

例3 設數列an{}為等差數列,且a5=1 4,a7=2 0,數列bn{}的前n項和為Sn=2n-1(n∈N*),求數列an{},bn{}的通項公式。

解析：根據已知條件求出公差,然后利用通項公式求出an,同時借助于數列的前n項和求出bn。

因為數列an{}為等差數列,則a7-a5= 2d=6,故d=3。

所以an=a5+(n-5)d=1 4+(n-5)× 3=3n-1。由Sn=2n-1,得Sn-1=2n-1-1, n≥2,兩式相減得bn=2n-1(n≥2)。又b1= S1=1,也滿足上式,因此bn=2n-1。

考點四 數列的求和

例4 (2 0 1 5屆浙江省溫州十校高三上學期期中聯考)已知等差數列{an}的各項均為正數,a1=3,a3=7,其前n項和為Sn, {bn} 為等比數列,b1=2,且b2S2=3 2。

(1)求an與bn;

解析：①直接由已知求得等差數列的公差,代入等差數列的通項公式求解,再由b2S2=3 2求得等比數列的公比,進而求等比數列的通項公式;②求出等差數列的前n項和,然后由裂項相消法求得,問題等價于f(x)=x2+ a x+1的最小值大于或等于,由此式求得a的取值范圍。

(1)設an{}的公差為d,且d＞0,bn{}的公比為q,則an=3+(n-1)d,bn=2qn-1。

由題意知a3=3+2d=7。

S2b2=(6+d)·2q=3 2。

所以an=2n+1,bn=2n。

(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+ 2),則

問題等價于f(x)=x2+a x+1的最小值大于或等于

點評：在數列裂項求和時,只需考慮分母的結構,只要分母可以分成同一數列的相鄰兩項,就可以裂項,而分子只起到平衡等式的作用。

(責任編輯 徐利杰)