高二第二學期期末測試題

■河南省新鄭市一中分校 韓志剛

高二第二學期期末測試題

■河南省新鄭市一中分校 韓志剛

一、選擇題(本大題共1 2小題,每小題5分,共6 0分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

A.-i Bi.

C.-1 D.1

A.P＞Q B.P=Q C.P＜Q D.由a的取值確定

4.有一段“三段論”,推理是這樣的：對于可導函數f(x),如果f'(x0)=0,那么x= x0是函數f(x)的極值點。因為f(x)=x3在x=0處的導數值f'(0)=0,所以x=0是函數f(x)=x3的極值點。以上推理中( )。

A.大前提錯誤 B.小前提錯誤C.推理形式錯誤 D.結論正確

5.已知z是復數z的共軛復數,z+z+ z·z=0,則復數z在復平面內對應的點的軌跡是( )。

A.圓 B.橢圓

C.雙曲線 D.拋物線

A.僅有最小值的奇函數

B.僅有最大值的偶函數

C.既有最大值又有最小值的偶函數

D.非奇非偶函數

7.用數學歸納法證明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2…(2n-1)(n∈N*)”時,從“n=k到n=k+1”時,左邊應增添的式子是( )。

A.2k+1 B.2k+3

C.2(2k+1) D.2(2k+3)

8.以下命題,正確命題的個數為( )。

(1)化極坐標方程ρ2c o sθ-ρ=0為直角坐標方程為x2+y2=0或y=1。

(2)集合A={x||x+1|＜1},B= {x|y=-2x-x2},則A?B。

(3)若函數y=f(x)在區間(a,b)內可導,且x0∈(a,b),則的值為2f'(x0)。

(4)若曲線y=ex+a與直線y=x相切,則a的值為0。

(5)將點P(-2,2)變換為P'(-6,1)的伸縮變換公式為

A.1 B.2 C.3 D.4

9.下列積分值等于1的是( )。

1 0.給出下列四個命題：①f(x)=x3-3x2是增函數,無極值;②f(x)=x3-3x2在(-∞,2)上沒有最大值;③由曲線y=x,y =x2所圍成圖形的面積是;④函數f(x) =l nx+a x存在與直線2x-y=0垂直的切線,則實數a的取值范圍是中正確命題的個數為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

1 1.已知點列如下：P1(1,1),P2(1,2), P3(2,1),P4(1,3),P5(2,2),P6(3,1), P7(1,4),P8(2,3),P9(3,2),P10(4,1), P11(1,5),P12(2,4),…,則P60的坐標為( )。

A.(3,8) B.(4,7)

C.(4,8) D.(5,7)

A.[1,+∞) B.(0,+∞) C.[0,+∞) D.(1,+∞)

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共2 0分。)

1 3.已知函數f(x)=x3+3m x2+n x+ m2在x=-1時有極值0,則m+n=。

1 4.已知函數y=f(x)的圖像在點M(1, f(1))處的切線方程是+f'(1)=。

1 6.若函數f(x)=x3+3x對任意的m∈[-2,2],f(m x-2)+f(x)＜0恒成立,則x∈。

三、解答題(本大題共6小題,共7 0分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

1 7.(本小題滿分1 0分)

寫出圓心的極坐標,并求當r為何值時,圓O上的點到直線l的最大距離為3。

1 8.(本小題滿分1 2分)

已知函數f(x)=x2+al nx的圖像與直線l：y=-2x+c相切,切點的橫坐標為1。

(1)求函數f(x)的表達式和直線l的方程;

(2)若不等式f(x)≥2x+m對f(x)的定義域內的任意x恒成立,求實數m的取值范圍。

1 9.(本小題滿分1 2分)

已知函數f(x)=al nx-2a x+ 3(a≠0)。

(1)設a=-1,求函數f(x)的極值;

2 0.(本小題滿分1 2分)

在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為ρs i n2θ=ac o sθ(a＞0),過點P(-2,-4)的直線l的參數方程為為參數),直線l與曲線C相交于A,B兩點。

(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;

(2)若|P A|·|P B|=|A B|2,求a的值。

2 1.(本小題滿分1 2分)

已知定義在(0,+∞)上的三個函數f(x)=l nx,g(x)=x2-a f(x),h(x)= x-ax,且g(x)在x=1處取得極值。

(1)求a的值及函數h(x)的單調區間。

(2)求證：當1＜x＜e2時,恒有x＜

2 2.(本小題滿分1 2分)

(1)當a=1時,求f(x)在區間[1,e]上的最大值和最小值;

(2)若在區間(1,+∞)上,函數f(x)的圖像恒在直線y=2a x下方,求a的取值范圍。

參考答案與提示

1.C 2.C 3.A 4.A 5.A 6.C 7.C 8.A 9.D 1 0.B 1 1.D 1 2.B

1

因此,f(x)=x2-4 l nx,f(1)=1,切點為(1,1),所以c=3。

直線l的方程為y=-2x+3。

經判斷g(x)在(0,2]上是減函數,在[2,+∞)上是增函數。

g(x)min=g(2)=-4 l n2,所以m≤g(x)min=-4 l n 2。

因此,當f(x)≥2x+m在f(x)的定義域內恒成立時,實數m的取值范圍是-∞,-4 l n 2 ( ]。

因為g(x)在區間(1,3)上不是單調函數,且g'(0)=-1,所以

2 0.(1)由ρs i n2θ=ac o sθ(a＞0)得ρ2s i n2θ=aρc o sθ(a＞0),所以曲線C的直角坐標方程為y2=a x(a＞0)。

直線l的普通方程為y=x-2。

(2)將直線l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程y2=a x(a＞0)中,得：

t2-2(a+8)t+4(a+8)=0。

設A,B兩點對應的參數分別為t1,t2,則有t1+t2=2(a+8),t1·t2=4(a+8)。

因為|P A|·|P B|=|A B|2,所以(t1-t2)2=t1·t2,即(t1+t2)2=5t1·t2。

解得a=2或a=-8(舍去)。

2 1.(1)g(x)=x2-a f(x)=x2-al nx,

所以a=2。

(2)因為1＜x＜e2,所以0＜l nx＜2,即2-l nx＞0。

當x＞1時,k'(x)＞0,所以k(x)在(1, +∞)上是增函數,所以k(x)＞k(1)=0, k(x)＞0,即

對于x∈[1,e],有f'(x)＞0,所以f(x)在區間[1,e]上為增函數。

在區間(1,+∞)上,函數f(x)的圖像恒在直線y=2a x下方等價于g(x)＜0在區間(1,+∞)上恒成立。

此時g(x)在區間(x2,+∞)上是增函數,并且在該區間上有g(x)∈(g(x2), +∞),不合題意。

當x2＜x1=1,即a≥1時,同理可知, g(x)在區間(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1), +∞),也不合題意。

(責任編輯 徐利杰)