論Mathematica在高中物理教學中的應用原則*

陳 星

(無錫市第一中學 江蘇 無錫 214031)

論Mathematica在高中物理教學中的應用原則*

陳 星

(無錫市第一中學 江蘇 無錫 214031)

通過實例展示了科研用數學軟件Mathematica在高中物理教學中輔助處理較難數學問題時帶來的巨大便利.具體探討了在解方程、難題的結果演示、數據擬合、畫圖等方面的應用.

Mathematica 高中物理 應用原則

高中物理教學經常會遇到復雜或者棘手的數學問題，而當學生基本能力訓練已經滿足，但通過現已掌握的技術和能力很難做出時，若適時借助數學軟件Mathematica[1,2]則可以很快捷而形象地將該問題的解決方案展示出來，為教師的教和學生的學都大大節約了時間，又能很直觀地給學生留下深刻印象.通過實踐研究，高中物理教學中以下幾種情況比較適合應用Mathematica.

1 解方程

高中階段學生應掌握的基本解方程組能力包括3～4個簡單方程組，若超過4個或者較復雜的方程組則其實已經超出基本能力的要求，過多糾結于此對物理教學反而是一種拖累，這時可以考慮使用Mathematica.除方程組外，有時可能還會遇到初等數學根本就解不出來的簡單方程，這時也可借助Mathematica.

1.1 多方程組方程

如圖1所示，輪軸重量為G0，半徑為R，輪軸上鼓輪半徑為r，輪軸靠在水平面和豎直墻壁構成的墻角處.在鼓輪上纏繞輕質繩，經過光滑的定滑輪在繩的另一端系一重物，輪軸與墻和水平面間的動摩擦因數均為μ，拉輪軸的繩與豎直方向夾角θ已知.求平衡時重物的最大重力Gx.

通過受力分析(設地面支持力為N1，摩擦力為f1，墻面支持力為N2，摩擦力為f2)，對本題可列出力平衡方程和力矩平衡方程

圖1 平衡時的輪軸連接裝置

手工求解以上方程組非常繁雜，但在Mathem-

atica中只需鍵入以下程序：

Solve[{Gx*Sin[θ]+N2-f1==0,Gx*Cos[θ]+N1+f2-G0==0,Gx*r-(f1+f2)R==0,f1-μ*N1==0,f2-μ*N2==0},{Gx,N1,N2,f1,f2}]

運行，可立即得到：

對該結果化簡：

1.2 圖解法

有一個彈簧振子質量為m，放在光滑水平面上如圖2所示，平衡位置為O點，其圓頻率為0.5π/s.另一個質量也是m的滑塊由h=0.20m高的A點由靜止滑下，質點滑到曲面底部B需時tAB=1.5s，OB間距l=6.0m.現將彈簧振子向左壓縮到x0=2.0m處時開始計時，兩個物體同時釋放，求：釋放后多久二者相碰.(不計摩擦)

圖2 一個物塊釋放撞擊另一個連接彈簧的物塊

對物塊1由簡諧振動，對物塊2考慮動能定理并從B開始勻速運動有

2(t-1.5)-2cos0.5πt=6

該方程形式雖簡單，但憑借高中數學知識，手工求解此方程難度很大，甚至是不可能.為此，可以把該方程拆分成兩部分

在Mahtmatica中畫出這兩個獨立的x-t圖如圖3：

Plot[{2Cos[1.57t],2t-9},{t,0,6}]

則二者交點就應為方程的解.為此，運行：

FindRoot[2Cos[1.57t]==2t-9,{t,5}]

立即得到上面方程的解：

{t→4.80507}

圖3 x1-t和x2-t的函數圖像

2 難題的結果演示

有些問題求解完成后，其結論函數很復雜，若要求探究其結論值隨各個變量的變化關系，或者要求找到結論函數極值及其位置，但初等函數知識很難求出時可以使用Mahematica.

2.1 復雜結論函數三維圖展示

承接1.2中的例子，若物塊1質量為M，彈簧勁度系數為κ，試探求物塊1從開始運動算起的位移x隨時間t和物塊2質量m之間的變化情況.

為方便起見，取M=50 kg，κ=50 N/m，g=10 m/s2.碰撞后，對M和m組成的整體由簡諧振動有

顯然，單純的分離變量法很難看出x隨m的變化關系，且t不同時，x隨m的變化情況也會受影響，為此可以畫出x隨t和m變化的三維圖像如圖4所示：

圖4 位移隨時間和質量的變化

由圖可看出x隨t做標準的正弦曲線變化，而當t相同時，x隨m也做一定的波動性變化，且t不同時，這個波動的“周期性”不同.可想而知，若不借助三維圖，是很難看出來的.此外，為方便看出變化關系，還可以從不同角度看這個三維圖，只需鍵入以下命令：Show[%,ViewPoint→{1,0,1.2}，就可從該圖的右上方如圖5所示清晰看出x隨m的波動性變化.

2.2 求函數極值

一條輕質繩子長度為L，一端固定在O點，另一端栓一個質量為m的小球，拉起小球使輕繩處于水平，然后無初速度釋放小球，如圖6所示，則小球所受重力的瞬時功率在何處取得最大值，最大值為多少？

圖6 靜止釋放的小球

對小球由動能定理和瞬時功率公式，有

即需要探求x-x3的極值.這種函數極值需要學過微積分后求導獲得，高中課堂上直接求，顯然不適宜.為此，借助Mathematica輸入：f[x_]=x-x3；Plot[f[x],{x,-2,2}]先得到該函數曲線如圖7所示.

圖7 x-x3函數圖像

3 實驗數據的擬合與處理

描點畫圖是學生高中階段應掌握的基本實驗技能.但若要求使用所測數據精確求解物理量或者擬合曲線方程時，應用手工繪制的圖線則顯然會因人而異且誤差很大.這時，借助Mathematica則可以得到非常精確而一致的結果.

在“測電源電動勢和內阻”的實驗中，獲得的一組電流、電壓值如表1所示.

表1 測電源電動勢和內阻實驗的一組電壓、電流值

要求根據所得數據較精確地求出電壓隨電流的變化曲線方程和電源電動勢及內阻.在Mathemetica中先建立數據庫：

S={{0.12,1.37},{0.20,1.29},{0.31,1.22},

{0.4,1.19},{0.5,1.12},{0.57,1.05}}

對數據擬合：nf=Fit[S,{1,x},x]，馬上就可得到精確擬合函數：1.43682-0.65758x.即電源電動勢為1.44 V，內阻為0.66 Ω.對數據進行描點，并把擬合函數畫在同一副坐標中：tu1=ListPlot[S,PlotStyle→{PointSize[0.02]}];tu2=Plot[nf,{x,0,0.60}];Show[tu1,tu2],我們就可以在同一個坐標系內得到數據點和擬合函數圖如圖8所示.

圖8 測電源電動勢和內阻實驗數據擬合

4 不易理論手繪的物理圖景

有些物理圖景很重要，但其方程形式卻較為復雜，手工繪制幾乎無法實現時，按照以往，教師只能以結論形式直接告訴學生，現在可以使用Mathematica在現場快速地繪制出來.

4.1 參數方程圖線

一個剛性圓輪在直線軌道上做純滾動，圓輪邊緣上一點所經歷的軌跡稱為滾線(又稱旋輪線、擺線).設圓輪半徑R=0.5 m，向前勻速運動的速度v0=2 m/s，試探求該點的軌跡.

對該點由圓周運動和勻速直線運動不難列出其水平和豎直方向的位移隨時間變化的參數方程

若力圖整理出y隨x的變化函數再繪圖幾乎是不可能的.這時就可借助Mathematica對x，y關于t進行參數方程繪圖：

v0=2;R=0.5;

運行，即得擺線圖像如圖9所示.

圖9 擺線軌跡

4.2 不等量同種電荷電場線

教材中的電場線是作為實驗模擬后直接給出的.但事實上是可以從理論上繪出的.尤其是在處理非對稱情形下的電場線時，重新做實驗顯然不現實，這時，又可借助Mathematica.例如，要求繪制兩個不等量同種點電荷電場線(設其中一個帶電荷量是另外一個的3倍).由高斯定理并結合點電荷場強公式，可以整理出多個共線點電荷的電場線方程為

把兩個點電荷代入可得兩點電荷空間電場線方程為

為定量畫圖，取q1=1，q2=3，a=1，可在Mathematica中輸入：

ContourPlot[f,{x,-3,3},{y,-3,3},

ContourShading→None,

Contours→25,PlotPoints→100]

馬上就可得到不等量同種電荷電場線如圖10所示.

圖10 不等量同種電荷的電場線

綜上，憑借強大的符號、運算、繪圖能力，Mathematica在高中物理教學中有著巨大的輔助潛力.在處理超出學生求解能力、又需要形象快捷展示物理圖景的問題時都可以考慮使用.只要在此原則內，除所使用的例子外，在平時教學中只要肯動腦筋，一定能夠挖掘出更多的場景配合以Mathematica的使用，為學習和教學帶來更多的便利.

1 于鳳梅, 王克強, 張麟. 運用Mathematica軟件輔助大學物理教學. 現代教育技術與裝備, 2011(15): 29～31

2 李寅杰, 徐慧. Mathematica軟件在物理教學中的應用——以黑體輻射有關公式為例. 物理通報, 2015(12): 79～81

*中國教育學會教育科研規劃課題“基于課程基地的CAP物理力學課程的教學創新研究”，項目編號：Z032016071

陳星(1982- )，男，中教一級，主要從事高中物理、物理競賽、大學先修課等教學.

2016-11-23)