關于手指轉筆模型的分析

胡長城 陳鐵松

(長春吉大附中實驗學校 吉林 長春 130021)

關于手指轉筆模型的分析

胡長城 陳鐵松

(長春吉大附中實驗學校 吉林 長春 130021)

針對一道關于轉筆模型的物理競賽試題，從不同的角度給出題目的解法，使讀者對模型的認識更加透徹，并進一步掌握質心坐標系的應用.

轉筆模型 參考系 質心運動定律

1 題目

在你思考問題時有用手指轉筆的習慣嗎？請你用下述剛體簡化模型，進行分析計算.

手指轉筆的剛體簡化模型：如圖1所示，設手指為半徑為R的圓柱，筆看成質量為m且質量分布均勻的細直桿，其回轉半徑為ρ(對質心C轉動慣量為mρ2). 設手指保持不動，開始時筆在距質心C距離為ρ的A處與手指相切，初角速度為ω0.設ρ>πR，且筆始終在垂直于手指的同一平面內轉動，忽略筆重力的影響.

求：筆(以下把筆簡稱為桿)繞手指無滑動轉一周中，手指(以下把手指簡稱為圓柱)作用于桿的正壓力和摩擦力的大小(表示為AC長度x的函數).

圖1 手指轉筆的剛體簡化模型

2 角速度的求解

在桿旋轉的過程中，桿在某時刻的角速度是一個關鍵的物理量，先把角速度這個關鍵的物理量表示成x的函數. 桿在轉動過程中機械能守恒

其中I0是桿在初始位置時的轉動慣量

I0=mρ2+mρ2=2mρ2

I是桿轉到AC長度為x時候的轉動慣量

I=mρ2+mx2

解得

3 正壓力的求解

方法1：通過運動學關系求出質心的切向加速度，進一步利用質心運動定律求解

解題思路：利用運動學的關系求出桿質心速度，進一步求導得到桿質心的切向加速度. 利用質心運動定律求解圓柱對桿的支持力.

設某時刻桿繞圓柱旋轉的角速度為ω，A點是桿的速度瞬心，則桿質心的速度大小vC=ωx,將質心速度大小(即速率)對時間求導，得質心的切向加速度

如圖2所示，由桿做純滾動的條件x=ρ-Rθ，兩邊對時間求導得

而

得

由質心運動定律得

圖2 方法1分析圖

方法2：利用加速度的牽連關系求出桿質心的加速度，進一步利用質心運動定律求解

解題思路：通過加速度的牽連關系找出在地面系中桿上A點的加速度，進一步表示出桿質心的切向加速度，利用質心運動定律求解支持力.

設桿上與圓柱的接觸點為點A，圓柱上與桿的接觸點為點A′. 假設有一靜止桿，圓柱在其上面純滾動，則圓柱上與桿接觸點和桿上與圓柱接觸點的相對加速度為ω2R，其中ω為圓柱體滾動的角速度，R為圓柱體的半徑. 此題中選擇與桿靜止參考系(此參考系既平動又轉動)，則A與A′相對加速度亦為ω2R.將A與A′兩點加速度由桿靜止參考系變換至地面系中，變換式為

a=a牽+a′+ω×(ω×r)+β×r+2ω×v′

由于A與A′矢徑r，相對桿靜止參考系的速度v′均相同，故在地面系下的相對加速度不變，則aA=ω2R，方向由O指向A.如圖3所示，以A點為基點(參考系)來表示桿質心C的加速度

圖3 方法2分析圖

由于A點為桿上與桿固連的點，故A點與C點之間無相對速度，故

根據質心運動定律

注意：aA=ω2R也可通過以下方式求得到.設無窮小時間dt里，桿轉過dθ角，則桿上原A點與現在A點的距離為dl=Rdθ，則

dvA=ωdl=ωRdθ

方法3：利用轉動定律求解

解題思路：在質心系中考察體系相對質心的角動量隨時間的變化時，質心是與桿固連的點，由于質心系是平動系，慣性力的大小與剛體內各質點的質量成正比，方向與質心的加速度方向相反. 這樣，慣性力和重力一樣，慣性力對質心的總力矩為零，即不論質心系是慣性系還是非慣性系，在質心系中，角動量定理仍然適用，不需要附加慣性力的影響.

選取桿的質心為轉動參考點，應用角動量定理得

4 摩擦力的求解

方法1：以一個繞圓柱做圓周運動的幾何點為參考系

解題思路：以一個既不是桿上的點也不是圓柱上的點，而是一個在圓柱表面繞其做圓周運動的幾何點A″為參考系. 求出相關加速度，由質心運動定律求解.

A″點的切向加速度

在A″系下，質心C沿桿方向的法向加速度

則在地面系下

由質心運動定理得

方法2：以桿上的A點為參考系

由質心運動定律得

5 結束語

通過以上分析可知，采用質心運動定律求解桿受到的正壓力時，需要在慣性系中表示質心的切向加速度.方法1中為求解切向加速度需要對質心速率進行求導；方法2中以桿與圓柱接觸的A為基點，采用加速度牽連關系表述桿質心C的切向加速度，上述兩種方法求解需要復雜的數學運算和在不同參考系下進行加速度變換，容易出現運算上的錯誤.方法3中直接選擇桿的質心為轉動參考點，這樣避免了慣性力帶來的影響，直接求出桿質心C的切向加速度，這種方法簡單. 采用質心運動定律求解桿受到的摩擦力時，以一個繞圓柱做圓周運動的幾何點A″點為參考系和以桿上的A點為參考系有本質的區別，A″點是一個做圓周運動的幾何點，不受桿的動力學關系束縛，桿繞圓柱純滾動保證了地面系中A點沿桿方向的加速度為零.

1 舒幼生.力學.北京：北京大學出版社，2005.52～65

2 趙凱華，羅蔚茵.力學.北京：高等教育出版社，2003.167～178

2016-12-27)