考慮空氣阻力與速度平方成正比的斜拋運動

郭雪鵬

(臨泉第一中學 安徽 阜陽 236400)

考慮空氣阻力與速度平方成正比的斜拋運動

郭雪鵬

(臨泉第一中學 安徽 阜陽 236400)

物體在空氣中運動，不可避免地受到空氣阻力，有時空氣阻力的作用必須加以考慮，例如炮彈射擊.物體速度較大，阻力f∝v2.考慮阻力f=-kv2，建立運動模型，運用MATLAB軟件數值求解，研究物體的運動性質、軌跡、射程和射高，并與無空氣阻力的斜拋運動對比.

斜拋運動 阻力 軌跡 射高 射程 Matlab 數值計算

1 前言

物體做斜拋運動，無空氣阻力，物體的運動規律容易求解得到.實際上，物體總是要受到空氣阻力，有時空氣阻力的作用必須加以考慮，例如炮彈的飛行軌跡.研究表明，速度較小，空氣阻力正比于速度，f=-kv；速度較大，阻力正比于速度的二次方，f=-kv2.速度繼續增加，阻力與速度的更高次方有關.本文考慮空氣阻力f=-kv2，研究物體的運動性質.

2 建立模型

考慮球形物體例如炮彈飛出后的軌跡，炮彈的速度一般在1 000 m/s左右，此時空氣阻力必須加以考慮.球形物體半徑為r，質量為m.先來考慮阻力的特點.物體在流體中運動，阻力是比較復雜的，與多種因素有關.這里并不需要對阻力加以詳細的考察，只需要知道阻力的規律即可.流體力學中一個重要參數為雷諾數Re，雷諾數較小，空氣阻力f=6πηrv，η為流體的粘性系數，對于空氣，溫度為20 ℃，η=1.82×10-5Pa·s.當雷諾數Re≈103～105，阻力f=0.2πρr2v2[1]，ρ為流體密度.空氣密度ρ=1.205 kg/m3(溫度為20 ℃，一個標準大氣壓)[2].

取空氣阻力f=-kv2，先估算k的大小，下文中需要數值計算求解斜拋運動，了解k的大小是很有必要的.由阻力表達式，可知k=0.2πρr2，球體半徑取0.1 m，k的數量級約為10-3.

球體從地面斜向上飛出，初速度為v0，與水平方向夾角為θ.t時刻物體的速度為v，與水平方向夾角為α，水平分速度為vx，豎直分速度為vy，受力如圖 1所示.

圖1 受力示意圖

將空氣阻力沿x方向和y方向分解，根據牛頓第二定律

(1)

(2)

(3)

(4)

初始條件為

(5)

求出式(3)和(4)的解，物體的運動情況便能完全確定.困難之處恰恰在于求解方程，方程不一定存在解析解.物理學中很多方程很難求出解析解，甚至于根本就沒有解析解.在沒有解析解的情況下，可以利用Matlab軟件數值求解.Matlab軟件是一款功能強大的科學計算軟件，在科學研究中有著廣泛的應用.式(3)和(4)可以利用Matlab軟件數值求解.

3 數值求解與結果分析

3.1 編寫程序

(6)

function x=xiepao(t,x)

global A %設置全局變量A=k/m

global g %設置全局變量重力加速度

x=[x(2);-A*sqrt(x(2)^2+x(4)^2)*

x(2);x(4);-A*sqrt(x(2)^2+x(4)^2)*x(4)-

g];

求解時間為從拋出到物體落回地面.物體落到地面的時間在求解前并不知道，為解決這一問題，可以利用Matlab的事件(events)功能.使用方法可參閱參考文獻[3]或Matlab的幫助命令.程序代碼為：

function

[value,isterminal,direction]=events(t,x)

value=x(3);

isterminal=1;

direction=-1;

求解主程序為：

clear;clc

global A

A=input(′請輸入A=′);%從鍵盤輸入A值

global g;g=10;%重力加速度取10 m/s2

theta=input(′請輸入初速度方向與水平方向夾角θ=′);

v0=input(′請輸入初速度v0=′);

t1=2*v0*sin(theta*pi/180)/g% 不考慮阻力的落地時間

H1=(v0*sin(theta*pi/180)).^2/(2*g)% 不考慮阻力的射高

X1=v0*cos(theta*pi/180)*t1 %不考慮阻力的射程

x0=[0;v0*cos(theta*pi/180);0;v0*sin(t

heta*pi/180)];%初始條件

opts=odeset(′events′,@events);

[t,x,tfinal]=ode45(@xiepao,[0,Inf],x0,opts);

tfinal%輸出落地時間

H=max(x(:,3)) %輸出有阻力的射高

X=max(x(:,1)) %輸出有阻力射程

figure (1)

subplot(3,2,1)

xx=v0*cos(theta*pi/180).*t;yy=v0*

sin(theta*pi/180)*t-0.5*g*t.^2;

plot(x(:,1),x(:,3),′.-′,xx,yy,′*-′);運動軌跡

legend(′.有阻力′,′*無阻力′)

xlabel(′itx/m′);ylabel(′ity/m′);grid on

subplot(3,2,3)

VX=v0*cos(theta*pi/180);VY=v0*sin

(theta*pi/180)-g*t;

V=sqrt(VX.^2+VY.^2);%無阻力速度大小

v=sqrt(x(:,2).^2+x(:,4).^2);%有阻力合速度大小

plot(t,v,′.-′,t,V,′*-′)%繪制速率時間圖像

legend(′有阻力′,′無阻力′)

xlabel(′t/s′);ylabel(′v/(m/s)′);grid on

subplot(3,2,4)

alpha=acosd(x(:,2)./v);%有阻力速度方向與水平方向夾角

alpha1=acosd(VX./V);% 無阻力速度方向與水平方向夾角

plot(t,alpha,′.-′,t,alpha1,′*-′)

legend(′有阻力′,′無阻力′)

xlabel(′t/s′);ylabel(′italpha′);grid on

subplot(3,2,5)

plot(t,x(:,2),′.-′,t,VX,′*-′)%水平分速度

legend(′有阻力′,′無阻力′)

xlabel(′itt/s′);ylabel(′itv_x(m/s)′);grid on

subplot(3,2,6)

plot(t,x(:,4),′.-′,t,VY,′*-′)%豎直分速度

legend(′有阻力′,′無阻力′)

xlabel(′itt/s′);ylabel(′itv_y(m/s)′);grid on

3.2 數值求解和結果分析

設球體半徑為r，密度為ρ0，那么

(7)

假設球體的半徑約為0.1 m，鐵[4]的密度約為7.86×103kg/m3，A的數量級約為10-4.取A=0.001，初速度v0=300 m/s，初速度方向與水平方向夾角θ=60°.求解結果如表 1所示.

表1 有阻力和無阻力拋體運動對比

結論：和不考慮空氣阻力相比較，考慮空氣阻力后，拋射體落地時間變小，射高降低，射程變短.

圖2所示為物體的軌跡，無空氣阻力軌跡為拋

物線；考慮空氣阻力，物體的軌跡不再是拋物線.

圖2 軌跡

圖3為速率-時間圖像.其共同特點是速率均先減小后增大，有空氣阻力時，速率減小得更快，物體落回到地面，速率小于拋出時的初速度，物體動能減小；不考慮空氣阻力，落回到地面時的速率等于初始速率，物體動能不變.

圖3 速率

圖 4為物體速度方向與水平方向夾角隨時間變化圖像.無阻力時的圖像求解時間沒有到物體落回到地面.無阻力時，物體上升或下降到同一高度時，速度方向與水平方向夾角相等，圖像關于物體上升到最高點的時刻對稱.考慮空氣阻力后，這種對稱性遭到破壞.

圖4 速度方向與水平方向夾角

圖5(a)和(b)分別為物體的水平分速度和豎直分速度隨時間變化圖像.無空氣阻力，水平分速度不變；有空氣阻力，水平分速度逐漸減小，從圖像可以看出，水平分加速度逐漸減小，在水平方向物體做加速度減小的減速運動，落到地面，水平分速度最小.無空氣阻力，豎直分速度圖像是一條傾斜的直線，斜率代表重力加速度；考慮阻力，圖像是一條曲線，豎直分加速度隨時間改變.

圖5 水平分速度和豎直分速度

上面就一個具體例子對比分析有空氣阻力和無空氣阻力物體的運動特點，感興趣的讀者可以利用上述程序輸入不同數值實驗.

4 結束語

最后對本文的內容做一個小結.本文研究考慮空氣阻力f=-kv2后拋射體的運動特點，利用Matlab軟件數值求解物體的射高、射程，描繪物體的軌跡以及速度-時間圖像，并與無空氣阻力的斜拋運動進行對比.高中階段，學生學習了大量的理想模

型，比如自由落體運動、平拋運動、斜拋運動、勻速圓周運動…….實際上，這些理想運動都是實際運動的近似，忽略掉了很多因素.由于此種原因，學生普遍有這種感覺：物理離實際生活很遙遠，學物理僅僅是做物理練習題.為避免這種認識的產生，在教學中有必要向學生展示一些真實的情境.根據實際情境，經歷物理學的研究方法，提出問題，建立數學模型，對模型求解，實驗驗證.在教學中，適當增加這些活動，對提高學生利用所學知識解決實際問題的能力都有很大的幫助，也會增加學生學習物理的熱情，這種探索活動值得在教學中嘗試.

1 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程 力學(第2版).北京：高等教育出版社，2004.237～2392http://baike.baidu.com/link?url=L6VJVeCuRFwUAD1e6KVM1AZYVEZnrNa_AE2ugUYOqXFhZ1DwzFLlv3BVkG_hlx7aD0PKB8jqSrJ9PBHekhdmRF0VVW_n80xBkH52QHBlOj6lfcXcbJerRWvHYcDO7Qqt[2016-12- 25]

3 彭芳麟.計算物理基礎.北京：高等教育出版社，2010.216～220

4http://baike.baidu.com/link?url=c3deDfdwx6YNVfRTxIXLj4znsWjA9Xy9SdA0ci-lhYcUMJ0lAWjG1Io4nYlF7nC3RmfZnoAV4lK_8FX_deSB5_[2016-12-25]

TheObliqueProjectileMotionConsideringtheAirResistanceBeingProportionaltotheVelocitySquare

GuoXuepeng

(LinQuanNo.1SeniorHighSchool,Fuyang,Anhui236400)

When moving in the air,objects experience air resistance inevitably. Sometimes the force of air resistance must be considered,for example, when shells are shot, the speed is relatively high and air resistance is. Considering air resistance, we can build motion model and apply Matlab software to seek the numerical computation. In this article, I will study the motion essence, trajectory, range and altitude of objects, and compare it with oblique motion without air resistance.

oblique projectile motion；air resistance；trajectory；range；Matlab；numerical computation

郭雪鵬(1991- )，男，中教二級，從事高中物理教學工作.

2016-12-25)