旋轉(zhuǎn)矢量法在夫瑯禾費(fèi)衍射中的應(yīng)用*

汪連城

(南京工程學(xué)院數(shù)理部 江蘇 南京 211167)

旋轉(zhuǎn)矢量法在夫瑯禾費(fèi)衍射中的應(yīng)用*

汪連城

(南京工程學(xué)院數(shù)理部 江蘇 南京 211167)

應(yīng)用簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法，將波動(dòng)光學(xué)夫瑯禾費(fèi)衍射中復(fù)振幅疊加轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)矢量的合成，并針對(duì)夫瑯禾費(fèi)單縫衍射和圓孔衍射的各級(jí)暗紋中心的衍射角和其在衍射屏上的位置進(jìn)行了求解.相對(duì)于傳統(tǒng)的基于惠更斯-菲涅耳公式的解析計(jì)算方法，基于旋轉(zhuǎn)矢量合成的方法更為直觀，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的需求相對(duì)較少，同時(shí)對(duì)大學(xué)生學(xué)習(xí)和理解夫瑯禾費(fèi)衍射以及其他波動(dòng)光學(xué)問題具有一定的借鑒意義.

夫瑯禾費(fèi)衍射 暗紋中心 旋轉(zhuǎn)矢量法 矢量合成

波動(dòng)光學(xué)是大學(xué)物理的重要組成部分，而其中的夫瑯禾費(fèi)衍射，包括單縫衍射和圓孔衍射，是波動(dòng)光學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).對(duì)于單縫衍射和圓孔衍射的衍射光強(qiáng)分布，在專業(yè)的光學(xué)教程中是利用惠更斯-菲涅耳公式，直接通過嚴(yán)格的推導(dǎo)得到[1]，但因其中包含較為復(fù)雜的積分以及貝塞爾函數(shù)的解析運(yùn)算而對(duì)非物理專業(yè)學(xué)生來說顯得較為困難.通過在直角坐標(biāo)系下對(duì)波陣面進(jìn)行條狀分割，可以將求解積分過程中的二重積分化簡為一元積分[2].也可以通過將求解疊加復(fù)振幅的積分函數(shù)展開成三角級(jí)數(shù)，利用三角函數(shù)的積分來替代需要利用貝塞爾函數(shù)的積分[3].此外，基于傅里葉變換的數(shù)值計(jì)算方法甚至可以得到任意形狀的波陣面所對(duì)應(yīng)的衍射光強(qiáng)分布[4].但無論哪種方法，都對(duì)非物理專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)或是數(shù)值計(jì)算知識(shí)提出了較高要求.更重要的，直接采用惠更斯-菲涅耳公式的解析或數(shù)值運(yùn)算對(duì)于學(xué)生對(duì)波動(dòng)光學(xué)物理機(jī)制的理解上效果有限.

在本文中，我們從簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法出發(fā)，采取和同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)合成的旋轉(zhuǎn)矢量法[5]相類似的方法，對(duì)夫瑯禾費(fèi)單縫衍射和圓孔衍射的衍射機(jī)理和光強(qiáng)分布結(jié)果進(jìn)行了深入的探討.相對(duì)于傳統(tǒng)的采用惠更斯-菲涅耳公式的嚴(yán)格方法，我們的思路更為簡單和直觀，所需的數(shù)學(xué)知識(shí)也相對(duì)較少，更為重要的是為理論知識(shí)有限的非物理專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)波動(dòng)光學(xué)提供了一種較為有效的理解

方式.

1 簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法及其合成

簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法[5]是指將簡諧振動(dòng)的位移、速度和加速度分別和一個(gè)長度為振動(dòng)振幅、角速度為圓頻率的矢量相對(duì)應(yīng).旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在水平方向上的投影和簡諧振動(dòng)的位移相對(duì)應(yīng)，矢量端點(diǎn)速度的水平分量和簡諧振動(dòng)的速度相對(duì)應(yīng)，而矢量端點(diǎn)的向心加速度的水平分量和簡諧振動(dòng)的加速度相對(duì)應(yīng).在這樣的設(shè)定下，兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)的合成就可以用兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的合成來簡單地表達(dá)其結(jié)果.令A(yù)1和A2分別表示參與合成的兩個(gè)子振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量，它們以共同的角速度ω繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，A是以A1和A2為邊組成的平行四邊形的對(duì)角線，同時(shí)A也是兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量.這樣，兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)的合振動(dòng)也是簡諧振動(dòng)，其頻率保持不變，而合振動(dòng)的振幅就是A矢量的長度，合振動(dòng)的初相就是零時(shí)刻A與x軸的夾角.特別的，如果兩個(gè)子振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量A1和A2方向相同，則合振幅最大，為A1+A2；如果A1和A2方向相反，則合振幅最小，為|A1-A2|.

如果是多個(gè)振動(dòng)方向和頻率相同的簡諧振動(dòng)合成，則只需重復(fù)上述步驟即可求出合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量.或者，更為直觀地來看，多個(gè)同向同頻簡諧振動(dòng)合成的合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量就是各個(gè)子振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合矢量.由于旋轉(zhuǎn)矢量是二維的，因此對(duì)于多個(gè)子矢量的合成問題，可以先將子矢量分別對(duì)水平、豎直兩個(gè)方向求其投影，再分別將兩個(gè)方向的投影分量進(jìn)行加和，得到合矢量的兩個(gè)分量，最后由這兩個(gè)分量組合得到合矢量.

2 旋轉(zhuǎn)矢量法在單縫衍射中的應(yīng)用

在夫瑯禾費(fèi)單縫衍射中，根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理，屏幕上某一點(diǎn)的光強(qiáng)將由單縫上所有子波波源的面積dS，子波到屏幕匯聚點(diǎn)的距離r和衍射角θ這3個(gè)因素共同決定.一般情況下，子波源到屏幕距離r和衍射角θ對(duì)子振動(dòng)的振幅的影響可以忽略，這樣每一個(gè)子波源在屏幕上的匯聚點(diǎn)所激發(fā)的子振動(dòng)的振幅就正比于子波源的波面面積dS.而屏幕上某一點(diǎn)的最終光強(qiáng)，將正比于所有這些子波在該點(diǎn)所激發(fā)的振動(dòng)的合振幅的平方.因此，對(duì)于求解屏幕上的光強(qiáng)分布問題，就等價(jià)于求解屏幕上某個(gè)點(diǎn)的合振幅問題.而合振幅的求解，就可以采取本文第一部分中所描述的方法，先將所有子振動(dòng)所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量放在一個(gè)矢量旋轉(zhuǎn)平面上，再對(duì)這些旋轉(zhuǎn)矢量進(jìn)行合成求得合矢量，而合矢量長度的平方就正比于屏幕上該點(diǎn)的光強(qiáng).如果是為了求解屏幕上光強(qiáng)分布的極值所在位置，那么就僅僅需要求解出合振幅何時(shí)取極值以及何時(shí)為零即可.

對(duì)于單縫波陣面上的子波的劃分，可以將波陣面分割成一系列平行的長條，如圖1所示.長條的水平長度和單縫的長度相同，令為a；而寬度取一個(gè)無窮小量dx，這樣每一個(gè)子波長條的面積就是adx.根據(jù)薄凸透鏡不引起附加的光程差原理，每一個(gè)長條上的各個(gè)子波到屏幕上匯聚點(diǎn)的光程是相等的，這樣就可以把一個(gè)長條看成一個(gè)子波，每一個(gè)長條子波將在屏幕匯聚點(diǎn)上激發(fā)一個(gè)子振動(dòng).由于各個(gè)長條在豎直方向上排列，每個(gè)子波長條將在屏幕匯聚點(diǎn)激發(fā)出相位不同的子振動(dòng).這些子振動(dòng)對(duì)應(yīng)著一系列初相不同的子旋轉(zhuǎn)矢量，只需要將這些子旋轉(zhuǎn)矢量的合矢量求解出來即可.子矢量的長度和激發(fā)該子振動(dòng)的子波面積成正比，而子矢量的相對(duì)位置將由它們分別對(duì)應(yīng)的光線之間的光程差決定.這里描述的波陣面劃分和合振動(dòng)求解方法同樣適用于其他類型的夫瑯禾費(fèi)衍射.

圖1 夫瑯禾費(fèi)單縫衍射光路圖

其中xsinθ是位置為x的子波和中心子波的光程差.接著對(duì)旋轉(zhuǎn)矢量圖上所有的旋轉(zhuǎn)矢量進(jìn)行分量的合成，其表達(dá)式分別為

和

這是一個(gè)初等函數(shù)積分，容易得到其表達(dá)式為

最后令

可得夫瑯禾費(fèi)單縫衍射振幅表達(dá)式為

其中C是常數(shù)，a是單縫長度，d是單縫寬度，而Ψ即為單縫發(fā)出所有子波所激發(fā)振動(dòng)的最大相位差的一半.令A(yù)等于零，解得衍射角θ的取值,可得各級(jí)暗紋中心所在位置；令A(yù)的導(dǎo)數(shù)等于零，解得衍射角θ的取值，可得各級(jí)明紋中心所在位置.對(duì)于這個(gè)積分的極值和零值的求解，可以利用旋轉(zhuǎn)矢量的分布結(jié)合對(duì)稱性分析，得到合振幅的關(guān)鍵取值關(guān)于衍射角θ的分布，從而繞開復(fù)雜的解析運(yùn)算.

圖2 夫瑯禾費(fèi)單縫衍射旋轉(zhuǎn)矢量圖

3 旋轉(zhuǎn)矢量法在圓孔衍射中的應(yīng)用

在夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射中，波陣面從狹縫變成了圓孔，在和單縫衍射相同的子波源分割方法下，即將圓孔型波陣面分割成一系列水平的長條子波源后，每一個(gè)子波源還是在屏幕上的同一匯聚點(diǎn)上激發(fā)一個(gè)子振動(dòng)，這些子振動(dòng)的合振動(dòng)就決定了屏幕上該點(diǎn)最終的光強(qiáng).但是由于圓孔衍射的波陣面是圓形的，因此分割出來的各個(gè)子波源的面積是不相等的，這和單縫衍射的情況不同，如圖3所示.

圖3 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射光路圖

因此，圓孔衍射各個(gè)子波源在屏幕上匯聚點(diǎn)所激發(fā)的子振動(dòng)的振幅是不等的，即子旋轉(zhuǎn)矢量的長度是不相等的.根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理，子旋轉(zhuǎn)矢量的長度應(yīng)該和子波源的面積成正比.由于子波長條的寬度取相同的無窮小量，因此子旋轉(zhuǎn)矢量的長度就簡單地和子波長條的長度成正比.這樣，在同樣滿足在dsinθ=kλ,k≠0的衍射方向上，雖然各個(gè)子波所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的角位置還是中心對(duì)稱地分布在原點(diǎn)周圍，但是各子矢量的長度不一.如圖4所示，位于圓孔圓心的子波帶所對(duì)應(yīng)的子旋轉(zhuǎn)矢量A0的長度最長，而位于圓孔上沿、下沿的兩個(gè)子波的子振幅最小，這樣，在單縫衍射中應(yīng)該是合成強(qiáng)度極小值的衍射方向上，到了圓孔衍射情形，其合振幅卻不再是零.

在最大光程差等于λ的衍射角下，各子旋轉(zhuǎn)矢量的相位關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱分布，但由于長度不等，因此合振幅并不為零.合振幅需要對(duì)各子旋轉(zhuǎn)矢量進(jìn)行積分計(jì)算

圖4 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射旋轉(zhuǎn)矢量圖

初相為

根據(jù)對(duì)稱性，圓孔上所有x>0的子波所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量和所有x<0的子波所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量應(yīng)該對(duì)稱地分布在A0的兩側(cè)，即關(guān)于x軸對(duì)稱分布.這樣在求解子旋轉(zhuǎn)矢量的合矢量時(shí)，其y分量必然為零；而x分量的值取決于各子旋轉(zhuǎn)矢量x分量的疊加.可以求得P點(diǎn)合振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量x分量表達(dá)式為

Ax=2∫dAcosφ=

其中r為圓孔半徑，C為常數(shù).令

上式化簡為

這個(gè)積分并不是簡單的積分，無法直接從積分表上查詢其積分函數(shù).我們應(yīng)用Mathematica的符號(hào)運(yùn)算模塊，并令

或

其中d為圓孔直徑.可得

其中BesselJ[1,Ψ]為第一類一階貝塞爾函數(shù)，而Ψ即為圓孔上發(fā)出所有子波所激發(fā)振動(dòng)的最大相位差的一半.令合振幅為零即可計(jì)算出各暗紋中心所對(duì)應(yīng)的各級(jí)衍射角.通過Mathematica的一元方程函數(shù)求解，并只取正實(shí)數(shù)解，可得Ψ≈3.83，7.02，10.17,13.32，…，轉(zhuǎn)換成衍射角取值即

這個(gè)結(jié)果和利用惠更斯-菲涅耳公式計(jì)算結(jié)果一致(參考文獻(xiàn)[1]表9-1).利用其中一級(jí)暗紋衍射角即

4 結(jié)束語

綜上所述，利用簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法和同方向同頻率簡諧振動(dòng)合成的旋轉(zhuǎn)矢量法，對(duì)夫瑯禾費(fèi)單縫衍射及圓孔衍射的衍射光強(qiáng)分布進(jìn)行了討論，得到了兩種衍射的各級(jí)暗紋中心位置分布.和傳統(tǒng)的基于惠更斯-菲涅耳公式的方法相比，我們的方法更為直觀，并且需要較少的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此更利于非物理專業(yè)大學(xué)生對(duì)夫瑯禾費(fèi)衍射的學(xué)習(xí)和理解.本文提出的將旋轉(zhuǎn)矢量的合成和惠更斯-菲涅耳原理相結(jié)合的思路對(duì)大學(xué)生深入學(xué)習(xí)和理解波動(dòng)光學(xué)具有一定的借鑒意義.

1 母國光，戰(zhàn)元齡.光學(xué).北京：高等教育出版社，2009.194～222

2 戴又善，戴亮.推導(dǎo)圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布分布的一種簡便方法.大學(xué)物理，2009,28(4)：29～32

3 李春庭，李君.夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射光強(qiáng)公式的一種推導(dǎo)方法.物理通報(bào)，2000(2)：14～15

4 謝佳寧，趙建林，陳偉成,等.夫瑯禾費(fèi)衍射的計(jì)算機(jī)仿真.大學(xué)物理，2004，23(3)：51～54

5 劉揚(yáng)正，張偉強(qiáng).物理學(xué)及其工程應(yīng)用.北京：高等教育出版社，2015.126～128

ApplicationonRotationVectorMethodinFraunhoferDiffraction

WangLiancheng

(DepartmentofMathematicsandPhysics,NanjingInstituteofTechnology,Nanjing,Jiangsu211167)

Applying rotational vector notation for the harmonic vibration, the superposition of optical waves in Fraunhofer diffraction is converted to composition of rotational vectors. The positions of the centers of dark patterns in the Fraunhofer diffraction on single slit and circular aperture are calculated. Compared with the calculations based on the Huygens-Fresnel formulas, our method is more intuitive and requires relatively less mathematical knowledge. Our approach can also help understanding in the study of Fraunhofer diffraction and other issues in wave optics for college students.

Fraunhofer diffraction; centers of dark pattern; rotation vector method; composition of vectors

*南京工程學(xué)院創(chuàng)新項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：CKJB201509

2016-09-28)