水火箭運(yùn)動(dòng)的理論研究

王 超 金盈楠 謝 妙 陳英才

(臺(tái)州學(xué)院物理系 浙江 臺(tái)州 318000)

水火箭運(yùn)動(dòng)的理論研究

王 超 金盈楠 謝 妙 陳英才

(臺(tái)州學(xué)院物理系 浙江 臺(tái)州 318000)

通過理論推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算對(duì)水火箭的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了研究，主要討論了水火箭運(yùn)動(dòng)過程特征以及初始裝水量對(duì)噴水時(shí)間、最大速度和最大高度的影響.研究結(jié)果有助于水火箭的設(shè)計(jì)以及獲得最大發(fā)射高度.

水火箭 運(yùn)動(dòng)過程 動(dòng)量定理 最佳裝水量

1 引言

水火箭制作簡(jiǎn)單，取材方便，是深受青少年學(xué)生喜愛的科技制作項(xiàng)目，同時(shí)也是各級(jí)青少年科技競(jìng)賽的常見項(xiàng)目.目前關(guān)于水火箭的文獻(xiàn)多集中于火箭的設(shè)計(jì)、實(shí)踐以及相對(duì)簡(jiǎn)化的理論討論，缺乏對(duì)水火箭運(yùn)動(dòng)進(jìn)行深入、全面的理論研究[1～7].本文綜合運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)、流體力學(xué)和熱學(xué)知識(shí)對(duì)單級(jí)水火箭的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行理論討論，并針對(duì)火箭加速度、速度、飛行高度隨時(shí)間的演化以及最佳裝水量等問題進(jìn)行數(shù)值計(jì)算模擬.研究結(jié)果有助于加深對(duì)水火箭運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)并為實(shí)際實(shí)驗(yàn)提供指導(dǎo).

2 理論推導(dǎo)分析

水火箭主要由整流罩、配重物、推進(jìn)器(可樂瓶)、瓶塞等部分組成，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示.發(fā)射時(shí)，首先在推進(jìn)器內(nèi)裝入一定量水并豎直放置，然后利用充氣泵向推進(jìn)器充氣，當(dāng)推進(jìn)器內(nèi)壓強(qiáng)足夠大時(shí)瓶塞和水被高速噴出，同時(shí)火箭在反沖作用下開始上升.

①整流罩及配重物；②空氣；③推進(jìn)器(可樂瓶)； ④水；⑤瓶塞；⑥充氣管圖1 單級(jí)水火箭結(jié)構(gòu)示意圖

水火箭的整個(gè)上升過程可分為兩個(gè)階段，即初期的噴水階段和后期的慣性上升階段.在噴水階段，推進(jìn)器內(nèi)空氣壓強(qiáng)大于外界大氣壓從而使水不斷噴出，火箭因此受到反沖作用而獲得發(fā)射驅(qū)動(dòng)力，并在短時(shí)間內(nèi)獲得較大的運(yùn)動(dòng)速度.在慣性上升階段，火箭停止噴水，并在重力和空氣阻力作用下以噴水階段的末速度為初速度繼續(xù)上升，最終達(dá)到最高點(diǎn).

2.1 噴水階段

t時(shí)刻火箭系統(tǒng)的質(zhì)量m可表示為

m=m0+ρS2l

(1)

其中m0表示空火箭(含空推進(jìn)器和配重物)的質(zhì)量，ρ為水的密度，S2為推進(jìn)器橫截面積，l為推進(jìn)器內(nèi)水柱的高度.

t時(shí)刻推進(jìn)器內(nèi)空氣的體積V可表示為

V=(l0-l)S2

(2)

其中l(wèi)0表示推進(jìn)器的總長(zhǎng)度.

在噴水階段，火箭受噴水的推力、重力以及空氣阻力的作用.根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理(取向上為正方向)有[8]

(3)

Fr=0.5Crρ0S2v2

(4)

其中Cr為空氣阻力系數(shù)，其與物體的形貌有關(guān)；ρ0為空氣的密度.為了下面表達(dá)方便，用η表示0.5Crρ0S2，即

Fr=ηv2

假定在噴水階段推進(jìn)器內(nèi)的水做定常流動(dòng)，則以推進(jìn)器為參考系(非慣性系)水流的伯努利方程可表示為[9]

(5)

v1S1=v2S2

(6)

其中S1為推進(jìn)器噴口橫截面積.

在噴水階段，推進(jìn)器內(nèi)的空氣快速膨脹，因而可視為絕熱過程.假定推進(jìn)器內(nèi)的空氣為理想氣體，則存在絕熱過程方程

(7)

其中pi和Vi分別表示初始時(shí)刻推進(jìn)器內(nèi)空氣壓強(qiáng)和體積，γ表示氣體摩爾熱容比，C0為一常量，其取決于pi和Vi.

對(duì)上述公式進(jìn)行聯(lián)立求解可以得到噴水階段各運(yùn)動(dòng)學(xué)參量(如高度h，速度v，加速度a等)隨時(shí)間的變化關(guān)系.考慮到這些函數(shù)關(guān)系的解析表達(dá)式很難得到，本文將由初始條件通過數(shù)值迭代計(jì)算模擬火箭在噴水階段的運(yùn)動(dòng)過程，進(jìn)而得到每個(gè)時(shí)刻各運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的值.在數(shù)值計(jì)算時(shí)，我們依據(jù)推進(jìn)器內(nèi)的壓強(qiáng)和水柱的高度來(lái)判斷噴水階段是否結(jié)束.具體地，噴水階段結(jié)束的標(biāo)志為：推進(jìn)器內(nèi)的壓強(qiáng)大于外界大氣壓，但水柱的高度已為零，或者，水柱的高度不為零，但推進(jìn)器內(nèi)的壓強(qiáng)開始小于外界大氣壓.

2.2 慣性上升階段

在慣性上升階段，火箭以噴水階段的末速度為初速度繼續(xù)上升直至到達(dá)最高點(diǎn).在此過程中，火箭僅受重力和空氣阻力作用，故有動(dòng)力學(xué)方程

(8)

由式(8)通過積分可以得到速度v隨時(shí)間t的變化關(guān)系：v=v(t)，再次積分可以得到高度h隨時(shí)間t的變化關(guān)系：h=h(t)，其中所用到的積分初始條件為：tm時(shí)刻火箭的質(zhì)量為m，速度為vm，高度為hm.這里tm為噴水階段所經(jīng)歷的總時(shí)間，m，vm和hm則分別表示噴水階段結(jié)束時(shí)火箭的質(zhì)量、速度和高度.另外，將v=v(t)反代入式(8)也可以得到加速度a隨時(shí)間t的變化關(guān)系.當(dāng)火箭飛行到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度v= 0，由此利用函數(shù)關(guān)系v=v(t)可求出對(duì)應(yīng)時(shí)刻T，進(jìn)而代入函數(shù)關(guān)系h=h(t)得到火箭的最大高度hmax=h(T).上述各運(yùn)動(dòng)參量在各個(gè)時(shí)刻的值也通過數(shù)值計(jì)算得到.

3 計(jì)算結(jié)果討論

表1 水火箭模型參數(shù)

圖2(a)、(b)和(c)分別給出了火箭加速度、速度和高度隨時(shí)間的演化.由圖2(a)和(b)可以很明顯看出，火箭的運(yùn)動(dòng)包含兩個(gè)不同的階段，即前面提到的噴水階段和慣性上升階段.在噴水階段，火箭質(zhì)量不斷減小.同時(shí)，推進(jìn)器內(nèi)氣體壓強(qiáng)不斷減小，從而導(dǎo)致火箭噴水速度不斷減小，火箭受到的推力不斷減小.但這并不意味著火箭的加速度也隨時(shí)間不斷減小.計(jì)算結(jié)果表明噴水階段火箭加速度變化比較復(fù)雜，且與初始裝水量有關(guān)，如圖2(a)中的插圖所示.由圖可以看出：當(dāng)k比較小時(shí)，a隨t單調(diào)增大；當(dāng)k比較大時(shí)，a隨t單調(diào)減小；當(dāng)k取中等值時(shí)，a隨t先減小再增大.關(guān)于a隨t的變化可做如下定性理解：當(dāng)k比較小時(shí)，在氣體快速膨脹過程中，氣體壓強(qiáng)減小較慢，因此水流的噴射速度大且減小慢，從而導(dǎo)致火箭質(zhì)量減小快，但推力減小慢，即加速度不斷增大；而當(dāng)k比較大時(shí)，在氣體快速膨脹過程中，氣體壓強(qiáng)減小較快，因此水流的噴射速度小且減小快，從而導(dǎo)致火箭質(zhì)量減小慢，但推力減小快，即加速度不斷減小.特別地，在噴水階段后期，火箭受到的推力有可能小于重力與空氣阻力的合力，從而使加速度出現(xiàn)負(fù)值，如圖2(a)插圖中k= 0.8圖線所示.在慣性上升階段，火箭主要受重力和空氣阻力(比較小)的作用，因此火箭加速度維持在-9.8 m/s2(重力加速度)附近.與加速度對(duì)應(yīng)，當(dāng)k不太大時(shí)，火箭速度在噴水階段快速增大并達(dá)到最大值，而后在慣性上升階段不斷減小；而當(dāng)k比較大時(shí)，火箭速度在噴水階段先增大然后減小，并在慣性上升階段進(jìn)一步減小，如圖2(b)所示.在整個(gè)上升運(yùn)動(dòng)過程中，火箭高度始終隨時(shí)間的增大而增大，直至達(dá)到最高點(diǎn)，如圖2(c)所示.需要說(shuō)明的是：由于噴水階段是一個(gè)時(shí)間極短的過程，因此火箭在此階段上升的高度是非常有限的，火箭的最終高度主要取決于其在慣性上升階段的飛行距離.以圖2中pi=6p0，k=0.4為例，噴水階段時(shí)間為0.116 s，火箭上升的高度為1.33 m，而火箭達(dá)到最高點(diǎn)所需要的總時(shí)間為2.28 s，高度為25.22 m.

圖2 火箭的a,v,h隨t的演化

由圖2可以看出，火箭的噴水時(shí)間長(zhǎng)短、最大速度以及最大高度均與初始裝水量有關(guān).圖3給出了初始?jí)簭?qiáng)取不同值時(shí)，火箭噴水階段所用時(shí)間tm隨初始裝水量k的變化.由圖可以看出，對(duì)于任意給定的pi，tm總是隨k的增大先增大再減小，且在k=k*時(shí)tm達(dá)到最大值.這意味著并不是裝水越多噴水時(shí)間就越長(zhǎng).火箭停止噴水需滿足下面兩種條件中的一種：(1)推進(jìn)器內(nèi)的水已噴完；(2)推進(jìn)器內(nèi)氣體壓強(qiáng)開始小于外界大氣壓，此時(shí)推進(jìn)器內(nèi)仍留有部分水(實(shí)際上，在推進(jìn)器內(nèi)氣體壓強(qiáng)等于外界大氣壓時(shí)，推進(jìn)器內(nèi)的部分水會(huì)在重力作用下流出，但此時(shí)對(duì)火箭沒有推力作用).我們計(jì)算發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k≤k*時(shí)，火箭停止噴水滿足上述條件(1)，而當(dāng)k>k*時(shí)，火箭停止噴水則滿足上述條件(2)；在k=k*位置，火箭把水噴完時(shí)推進(jìn)器內(nèi)氣體壓強(qiáng)剛好等于外界大氣壓，即

從而導(dǎo)致k*隨pi的增大而增大，如圖3所示.

圖3 初始?jí)簭?qiáng)pi取不同值時(shí)，噴水時(shí)間tm隨 初始裝水量k的變化

圖4(a)和(b)分別給出了初始?jí)簭?qiáng)pi取不同值時(shí)，火箭的最大速度vmax以及最終高度hmax隨初始裝水量k的變化.由圖可以看出：對(duì)于任意給定的pi，vmax和hmax隨k的變化滿足相似的規(guī)律，即它們都隨著k的增大先增大再減小，而且總存在一個(gè)確定的最佳值k=kc，在此附近vmax和hmax均達(dá)到極大值.由前面的結(jié)果可知，火箭的加速過程非常短暫，火箭最終達(dá)到的高度主要取決于其在減速上升過程中的飛行距離，因此最大速度vmax越大火箭的最終高度hmax也越大.隨著pi的增大，最佳裝水量kc不斷增大，并逐漸趨向于0.5，如圖4(b)插圖所示，這與以往的計(jì)算結(jié)果一致[6，7].

圖4 初始?jí)簭?qiáng)pi取不同值時(shí)，vmax和hmax隨k的變化圖像

4 結(jié)論

綜合運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理、理想氣體絕熱膨脹、伯努利流體力學(xué)方程等理論對(duì)水火箭運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了理論研究，計(jì)算并得到了水火箭運(yùn)動(dòng)過程中加速度、速度和高度等運(yùn)動(dòng)量隨時(shí)間的演化曲線，揭示了水火箭的運(yùn)動(dòng)特征；計(jì)算并討論了初始裝水量對(duì)火箭噴水時(shí)間、最大速度和最大高度的影響，發(fā)現(xiàn)最佳裝水量隨初始?jí)簭?qiáng)的增大而增大并最終趨于0.5.研究結(jié)果對(duì)水火箭的設(shè)計(jì)及獲得最大發(fā)射高度具有一定的指導(dǎo)意義.

1 王香芝.水火箭研究初探.中學(xué)物理教學(xué)參考,2002(4):17～17

2 梁法庫(kù),梁帥.可以任意角度發(fā)射的水火箭.物理實(shí)驗(yàn),2010(10):31～32

3 方紅霞.關(guān)于水火箭水平射程的實(shí)驗(yàn)研究.物理實(shí)驗(yàn),2011(12):17～19

4 汪海.二級(jí)加壓水火箭的制作方法.物理實(shí)驗(yàn),2012(6):23～26

5 宣樹德,顏季州.水火箭的半定量研究和改進(jìn).物理通報(bào),1996(9):31～32

6 廖立楊,楊曉冬.對(duì)水火箭發(fā)射速度和射程的理論研究.物理與工程,2016(3):82～86

7 候沐朗.模塊化多級(jí)水火箭設(shè)計(jì)與模擬.兵器裝備工程學(xué)報(bào),2016(9):188～192

8 馬文蔚,周雨青.物理學(xué)(上).北京:高等教育出版社,2014.65

9 顧書龍.非慣性參照系中的伯努利方程.物理與工程,2003(1):1～3

TheoreticalStudyontheMovementoftheWaterRocket

WangChaoJinYingnanXieMiaoChenYingcai

(PhysicsDepartmentofTaizhouUniversity,Taizhou,Zhejiang318000)

The movement of the water rocket was studied by theoretical analysis and numerical calculation. The characters of the movement process and the effect of the initial water quantity on the squirted time, the maximum velocity and the maximum height were mainly discussed. The results are useful for designing water rocket and obtaining the maximum launch height.

water rocket; movement process; theorem of momentum; optimal water quantity

2016-12-08)