旋轉曲面及其方程

黃振華，祝秋文，胡清華

(1.湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002；2.湖北師范大學 物理與電子科學學院，湖北 黃石 435002；3.黃石市第十四中學，湖北 黃石 435002)

旋轉曲面及其方程

黃振華1，祝秋文2，胡清華3

(1.湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002；2.湖北師范大學 物理與電子科學學院，湖北 黃石 435002；3.黃石市第十四中學，湖北 黃石 435002)

求旋轉曲面的方程，是大一新生在學習過程中較為疑惑的。討論了旋轉曲面的旋轉軸與母線的不同位置求解方程的基本思想與方法。

旋轉曲面；旋轉軸；母線；方程

《空間解析幾何》是師范大學的一門專業基礎課程，一般在新生入學第一學期就開設了此課程。為大學后續課程的學習起到基礎作用，對學生今后從事的教育工作也具有指導性作用。因此，搞好解析幾何課程的教學是適應高等教育培養具有創新精神和實踐能力的高素質人才的需要。然而，在解析幾何課程教學的過程中，部分學生對旋轉曲面及其方程的學習覺得有一定的難度。本文將對旋轉曲面方程的求解方法進行討論，以降低新生學習之難度。

1 旋轉曲面的概念

定義[1]在空間，一條曲線Γ繞著定直線l旋轉一周所生成的曲面叫旋轉曲面，曲線Γ叫旋轉曲面的母線，定直線l叫旋轉曲面的旋轉軸。

母線Γ上任一點M1在旋轉時形成一個圓，這個圓是通過點M1且垂直于旋轉軸l的平面與旋轉曲面的交線。稱之為緯圓或緯線。

在通過旋轉軸l的平面上，以l為界的每個半平面都與旋轉曲面交成一條平面曲線，這些平面曲線叫做旋轉曲面的經線。

經線繞著旋轉軸l旋轉一周與母線繞著旋轉軸l旋轉一周所形成的旋轉曲面相同。所以，經線可以當做母線，而母線不一定是經線。

2 旋轉曲面方程的求法

2.1 不論旋轉軸與母線的位置關系時的求法

此情況下求旋轉曲面的方程，是學生感覺到比較困難的。關鍵是對旋轉曲面要有充分的理解，關于旋轉曲面，當然可按照定義理解為母線繞旋轉軸旋轉而生成，還可理解為以旋轉軸為連心線且垂直于旋轉軸的平行圓疊加生成。求旋轉曲面的方程，以后者理解思想居常見，具體求法有：

(1)

(2)

(3)

其中k,r為參數，要想此組平行圓疊加生成所求的旋轉曲面，就必須使此組平行圓與母線Γ相交，由(3)與母線Γ的方程可得到關于參數k,r的關系式G(k,r)=0，此式G(k,r)=0與(3)聯立便可消去參數k,r，即可得到所求旋轉曲面的方程F(x,y,z)=0。

兩種解法都是運用平行圓疊加生成旋轉曲面的思想，不同點就是：解法1是運用圓心在旋轉軸上且過母線上任一點的平行圓，讓此點遍歷整個母線而疊加生成旋轉曲面；解法2則是運用圓心在旋轉軸上的平行圓，其大小未定，讓此組平行圓與母線相交，也就是確定平行圓的大小后疊加生成旋轉曲面。

解法1 設M1(x1,y1,z1)是母線上一點，則過M1(x1,y1,z1)的緯圓方程是

由于M1(x1,y1,z1)在母線上，所以有x1=y1且z1=1，消去x1,y1,z1得所求旋轉曲面的方程為

x2+y2+z2-2xy-2yz-2xz+2x+2y+2z-3=0

得(x+y+z)2-2(x+y+z)-2(x2+y2+z2)+3=0,

所求旋轉曲面的方程即為x2+y2+z2-2xy-2yz-2xz+2x+2y+2z-3=0 .

2.2 當旋轉軸為某一坐標軸時的求法

x2+y2=x2(z)+y2(z)即為所求的旋轉曲面的方程。

以其它坐標軸為旋轉軸，可同樣解決。

x2+z2=(1-y2)+(1-y2)2, 即x2+z2=(1-y2)+(2-y2)

x2+y2=z+(1-z), 即x2+y2=1(0≤z≤1)

當然，也可由2.1的兩種解法解出。

2.3 當旋轉軸與母線共面時的求法

這時的母線一定是平面曲線，設旋轉軸與母線在某一坐標面上，若旋轉曲面的母線為

對于旋轉軸與母線在其它坐標面，旋轉軸為其它坐標軸時，可類似得到旋轉曲面的方程。

同理可證明其他形式的結果。

因此，為了方便，求一條平面曲線繞這個平面內的一條直線旋轉產生旋轉曲面的方程時，總可取此平面為某個坐標平面，此直線為這個坐標面的某一坐標軸建立空間直角坐標系，從而得出旋轉曲面的方程。由于旋轉曲面的經線也可作為母線與原母線生成同一旋轉曲面，故此求旋轉曲面的方程的方法也是常用的。

注意 2.2和2.3求旋轉曲面的方程時，一定要注意前提條件。

[1]呂林根.許子道.解析幾何[M].北京:高等教育出版社.2006.

[2]呂林根.解析幾何學習輔導書[M].北京:高等教育出版社.2006.

[3]楊 靜.旋轉曲面及其方程[J].高等數學研究，2005，8:24～25.

Rotation surface equation

HUANG Zhen-hua1,ZHU Qiu-wen2,HU Qing-hua3

(1.School of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Hubei Huangshi,435002;2.College of physics and Electronic Science,Hubei Normal University,Hubei Huangshi,435002;3.No.14 Middle School of Huangshi city,Hubei Huangshi,435002)

Solving rotation surfaces equation is a puzzled problem for freshman. This article discuss the solving methods for different positions of rotation axis of rotation surface and generatrix.

rotation surface;rotation axis;generatirx;equation

2016—06—16

黃振華(1960— )，湖北黃石人，副教授，主要研究方向為幾何.

O182.2

A

2096-3149(2017)02- 0083-04

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.02.018