函數易錯題分析

文/馬愛平

函數易錯題分析

文/馬愛平

責任編輯：王二喜

在解有關函數問題時，我們會出現一些錯誤.現把常見的錯誤列舉出來，并加以分析，希望你能從中吸取教訓，避免犯類似的錯誤.

一、沒有掌握對稱點的坐標特征

例1（2016年成都卷）平面直角坐標系中，點P（-2，3）關于x軸的對稱點的坐標為（ ）

A．（-2，-3）. B．（2，3）. C．（-3，2）. D．（3，-2）.

錯解：B.

剖析：P（-2，3）關于x軸的對稱點是（-2，-3）.選A．

溫馨小提示：點（x，y）關于x軸對稱的點是（x，-y），關于y軸對稱的點是（-x，y），關于原點對稱的點是（-x，-y）．

二、忽視自變量的取值范圍

例2（2016年齊齊哈爾卷）點P（x，y）在第一象限內，且x+y=6，點A的坐標為（4，0）．設△OPA的面積為S.在下列圖象中，能正確表示面積S與x之間的函數關系式的圖象是（ ）

錯解：選D.

剖析：本題中的自變量x和S都具有實際意義，圖象必在第一象限內.

∵點P（x，y）在第一象限內，且x+y=6，∴y=6-x（0＜x＜6，0＜y＜6）.

溫馨小提示：在實際問題中，自變量的取值范圍會受到限制，所以對應的圖象可能是原函數圖象的一部分．

三、求自變量取值范圍時顧此失彼

A.x＞3. B.x≥3. C.x＞4. D.x≥3且x≠4.

錯解：選B.

剖析:錯解只考慮到二次根式的被開方數必須大于等于0，沒有注意分母不能為零，應是x-3≥0，且x-4≠0，∴x≥3且x≠4.選D.

溫馨小提示：自變量x必須滿足兩個條件：一是二次根式有意義，二是分式有意義．

四、審題錯誤

例4（2016年菏澤卷）小明騎自行車上學，開始以正常速度勻速行駛，但行至中途自行車出了故障，只好停下來修車，車修好后，因怕耽誤上課，加快了騎車速度.下面是小明離家后他到學校剩下的路程s關于時間t的函數圖象，那么符合小明行駛情況的圖象大致是（ ）

錯解：選C.

剖析：在選項C中，s是小明離家的路程，其實s表示小明離家后他到學校剩下的路程.事實上，小明家離學校有一段路程，圖象不可能經過原點，排除A和C.開始是用正常速度勻速行駛，時間增加，路程不斷減小，圖象是一條傾斜的線段；修自行車這一段時間，時間增加，路程沒變，圖象是一條平行于x軸的線段；車修好后加快了騎車速度，相距的路程s隨著時間t的增加而快速減少，線段的傾斜程度變“陡”.選D.

五、沒有對函數解析式分類討論

例5（2016年荊州卷）若函數y=（a-1）x2-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點，則a的值為_____．

錯解：∵函數y=（a-1）x2-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點，

∴Δ=16-4（a-1）×2a=0，解得a1=-1，a2=2.故a的值為-1或2.

剖析：它可以是二次函數，也可以是一次函數，漏掉了后一種情況.

正解：（1）當a≠1時，同上解，可得a1=-1，a2=2；

（2）當a=1時，此時y=-4x+2，它的圖象與x軸也有且只有一個交點，滿足要求.

因此a的值為-1或2或1．

溫馨小提示：對于含字母系數的函數問題，要注意對解析式分類討論.

六、利用反比例函數的性質解題時沒有分象限

例6（2016年天津卷）若點A（-5，y1），B(-3，y2），C(2，y3)在反比例函數的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（ ）

A.y3＞y1＞y2. B.y1＞y2＞y3. C.y2＞y1＞y3. D.y3＞y2＞y1.

錯解：∵k=3＞0，∴y隨x的增大而減小，而-5＜-3＜2，∴y1＞y2＞y3.選B.

剖析：反比例函數的性質是分象限研究的，當k＞0時，圖象在同一個象限內，y隨x的增大而減小.錯解忽視了這一點.其實由-5＜-3＜0，只能得到y1＞y2；再由y1，y2都小于0，而y3大于0，有y3＞y1＞y2.選A.

溫馨小提示：應用反比例函數的性質解題時一定要注意分象限研究.本題還可分別求出y1，y2，y3的值為，所以y3＞y1＞y2.也可以畫出反比例函數的圖象，借助于圖象可得y3＞y1＞y2.

七、平移錯誤

例7（2016年泰安卷）將拋物線y=2（x-1）2+2向左平移3個單位，再向下平移4個單位，那么得到的拋物線的表達式為______.

錯解：y=2（x-4）2-2.

剖析：拋物線y=a（x-h）2+k的平移就是頂點的平移，將點（h，k）向左平移m個單位得（h-m，k），此時拋物線為y=a（x-h+m）2+k，因此原拋物線向左平移3個單位后y=2（x-1+3）2+2=2（x+2）2+2，再向下平移4個單位，所以y=2（x+2）2+2-4=2（x+2）2-2.

溫馨小提示：二次函數圖象的平移，實質上是頂點坐標的平移，只要確定平移前后的頂點坐標，就可以寫出平移后的解析式.

八、點的坐標與線段長度的轉化錯誤

例8（2016年鄂州卷）二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖1，點C在y軸的負半軸上，且OA=OC，則（ ）

A．ac+1=b B．ab+1=c C．ac+1=-b D．以上都不是

錯解：當x=0時，y=ax2+bx+c=c，則C（0，c），∵OA=OC，

∴A（c，0），∴ac2+bc+c=0，∴ac+b+1=0，即ac+1=-b，選C.

剖析：由圖象可知，點C在y軸的負半軸上，因此其縱坐標應該為負數，即c＜0；點A在x軸的正半軸上，即點A的坐標為（-c，0）.

圖1

正解：當x=0時，y=ax2+bx+c=c，則C（0，c）.

∵點C在y軸的負半軸上，∴c＜0.

∵OA=OC，∴OA=|c|.

又點A在x軸的正半軸上，

∴A（-c，0），∴a·（-c）2+b·（-c）+c=0，∴ac-b+1=0，

即ac+1=b.選A．

溫馨小提示：要注意線段長與點的坐標的相互轉化.由點的坐標求線段長需要加絕對值，由線段長求點的坐標要注意符號．

九、重復計算重疊部分的面積

例9（2016年包頭卷）一幅長20cm、寬12cm的圖案，如圖2，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3∶2．設豎彩條的寬度為xcm，圖案中三條彩條所占面積為ycm2．

（1）求y與x之間的函數關系式；

剖析：由圖2可知，三條彩條的面積=橫彩條的面積+2條豎彩條的面積-橫豎彩條重疊矩形的面積.

圖2

（2）根據題意得-3x2+54x=×20×12，

即x2-18x+32=0，∴x1=2，x2=16（舍去），

答：橫彩條的寬度為3cm，豎彩條的寬度為2cm．

溫馨小提示：解決問題時，可運用圖形的變換，將三條彩條平移到邊上，則y=20×12-=-3x2+54x，即可避免上述錯誤.