生活中的函數問題

文/陳和金 周奕生

智慧數學

生活中的函數問題

文/陳和金 周奕生

責任編輯：王二喜

以生活為背景，考查函數的應用是中考命題的重點.這類問題需要構造函數，運用函數圖象和性質解答.常見的問題有如下幾種.

一、情景中的函數圖象問題

圖1

例1（2016年南充卷）小明和爸爸從家步行去公園，爸爸先出發一直勻速前行，小明后出發．家到公園的距離為2500m，圖1是小明和爸爸所走的路程s（m）與步行時間t（min）的函數圖象．請解答：

（1）直接寫出小明所走路程s與時間t的函數關系式；

（2）小明出發多少時間與爸爸第三次相遇？

（3）在速度都不變的情況下，小明希望比爸爸早20min到達公園，則小明在步行過程中停留的時間需作怎樣的調整？

解析：（1）小明所走路程s與時間t的圖象是折線OABC，因此，求其函數關系式時應按自變量的取值范圍分段討論.

（2）由圖象可知：小明第三次與他爸爸相遇是在小明出發30min后，因此，欲知小明與爸爸第三次相遇的時間，需要求出爸爸所走的路程s、時間t的函數圖象與s=50t-500的交點．

設s=mt+n，把點（0，250）和（25，1000）代入，得

所以小明出發37.5min時，與爸爸第三次相遇.

（3）小明的爸爸到達公園需要的時間：30t+250=2500，解得t=75，

所以小明的爸爸到達公園需要75min．

由圖1可知，按原方案小明到達公園需要的時間是60min，75-60=15，他希望比爸爸早20min到達公園，則小明在步行過程中停留的時間需減少5min．

評注：解決情景圖象問題的步驟：閱讀問題情景→觀察函數圖象→確定兩點坐標→運用待定系數法求值.由于圖象是折線，要注意自變量的取值范圍，分段解決．

二、售價與銷售量的反比例函數問題

例2（2016年德州卷）某中學組織學生到商場參加社會實踐活動，他們參與了某種品牌運動鞋的銷售工作.已知該運動鞋每雙的進價為120元，為尋求合適的銷售價格進行了4天的試銷，試銷情況如表所示：

第1天第2天第3天第4天售價x（元/雙）150 200 250 300銷售量y（雙）40 30 24 20

（1）觀察表中數據，x，y滿足什么函數關系？請求出這個函數關系式；

（2）若商場計劃每天的銷售利潤為3000元，則每雙鞋的售價應定為多少元？

解析：（1）運動鞋每天的售價和銷售量的乘積，都等于6000，因此，xy=6000.

（2）每雙鞋的利潤為（x-120）元．由題意得（x-120）y=3000，

解得x=240．

經檢驗，x=240是原方程的根．

答：若商場計劃每天的銷售利潤為3000元，則每雙鞋的售價應定為240元．

評注：售價越高，銷售量越小，需要找到銷售量與售價的函數關系．

三、調運方案中的一次函數問題

例3（2016年荊門卷）A城有某種農機30臺，B城有該種農機40臺，現要將這些農機全部運往C，D兩鄉，調運任務承包給某運輸公司．已知C鄉需要農機34臺，D鄉需要農機36臺，從A城往C，D兩鄉運送農機的費用分別為250元/臺和200元/臺，從B城往C，D兩鄉運送農機的費用分別為150元/臺和240元/臺．

（1）設A城運往C鄉該農機x臺，運送全部農機的總費用為W元，求W關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）現該運輸公司要求運送全部農機的總費用不低于16 460元，則有多少種不同的調運方案？將這些方案設計出來；

（3）現該運輸公司決定對A城運往C鄉的農機，從運輸費中每臺減免a元（a≤200）作為優惠，其他費用不變.如何調運，使總費用最少？

解析：（1）由A城運往C鄉的農機x臺，A城余下的（30-x）臺運往D鄉，C鄉還需（34-x）臺，即B城運往C鄉的農機為（34-x）臺，B城剩下的40-（34-x）臺運往D鄉，即B城運往D鄉（6+x）臺．

由題意，可得

W=250x+200（30-x）+150（34-x）+240（6+x）=140x+12 540，

農機數量是非負數，所以x的取值范圍為0≤x≤30.

（2）調運方案決定于自變量x的值，故只需要確定x的取值范圍．

根據題意，得140x+12 540≥16 460，解得x≥28，

又由（1），得0≤x≤30，所以28≤x≤30，

因為x為整數，所以x=28，29，30，共有3種不同的調運方案，分別是：

從A城調往C鄉28臺，D鄉2臺，從B城調往C鄉6臺，D鄉34臺；

從A城調往C鄉29臺，D鄉1臺，從B城調往C鄉5臺，D鄉35臺；

從A城調往C鄉30臺，D鄉0臺，從B城調往C鄉4臺，D鄉36臺.

（3）根據題意，得W=（250-a）x+200（30-x）+150（34-x）+240（6+x），

整理，得W=（140-a）x+12 540，

①當0＜a＜140時，即140-a＞0，

當x=0時，W最小值=12 540元，

3.5.2 推進區域能源市場建設。加快區域電力市場建設，通過發展輔助服務等方式擴大跨省交易電量，增強區域電力余缺調劑能力，提高區域電網安全性能。充分發揮油氣交易平臺的輻射作用，支持企業用好國際、國內兩個資源，加強地方在能源采購上的話語權。

此時從A城調往C鄉0臺，調往D鄉30臺，從B城調往C鄉34臺，調往D鄉6臺；

②當a=140時，W=12 540元，各種方案的費用一樣多；

③當140＜a≤200時，140-a＜0，

當x=30時，W最小=16 740-30a，

此時從A鄉調往C鄉30臺，D鄉0臺，從B鄉調往C鄉4臺，D鄉36臺．

評注：方案設計常常涉及利潤最大（成本最小）問題，需要構造利潤（成本）與變量之間的一次函數，利用一次函數的增減性及自變量的取值范圍確定最大值（最小值）．

四、營銷利潤中的二次函數問題

例4（2016年濰坊卷）旅游公司在景區內配置了50輛觀光車供游客租賃使用，假定每輛觀光車一天內最多只能出租一次，且每輛車的日租金x（元）是5的倍數．每天的營運規律如下：當x不超過100元時，觀光車能全部租出；當x超過100元時，每輛車的日租金每增加5元，租出去的觀光車就會減少1輛．已知所有觀光車每天的管理費是1100元．

（2）當每輛車的日租金為多少元時，每天的凈收入最多？

解析：（1）每天的凈收入=出租車的總收入-管理費，總收入=每輛車的日租金×租出車的數量．50輛觀光車全部租出的總收入為50x，凈收入為50x-1100（元）．

由每天的凈收入為正，得50x-1100＞0，解得x＞22，

又x是5的倍數，所以每輛車的日租金至少為25元.

（2）設每天的凈收入為y元，由題意可知y與x之間是分段函數，需要分段求出函數的最大值，再比較得出答案．

當0＜x≤100時，50輛觀光車能全部租出，所以y1＝50x-1100，

y1隨x的增大而增大，所以當x=100時，y1取最大值，最大值為50×100-1100=3900；

當x=175時，y2取最大值，最大值為5025．

因為5025＞3900，故當每輛車的日租金為175元時，每天的凈收入最多，為5025元．

評注：營銷中的利潤決定于銷售的單價和銷量，單價提高，銷售量就會減少，利潤與銷售單價一般是二次函數關系.建立利潤與銷售單價的二次函數關系，利用二次函數的性質求解．