探析立體幾何在高中數學學習中的應用

朱順

【摘 要】立體幾何是我們在高中數學學習過程中必須學會的重要知識點，其在很多類型的數學知識中有著廣泛的應用。立體幾何需要我們結合數據和圖形甚至要加上一定程度的空間思維想象才能對其進行正確處理的一類數學難點。很多同學在應用立體幾何解答高中數學題的時候會無從下手，因為有些是需要作輔助線的，我主要結合自己的高中數學學習經驗對立體幾何在高中數學學習中的應用進行分析。

【關鍵詞】立體幾何；高中數學

我們可以通過平時的高中數學考試發現，立體幾何占的分值是比較大的，部分選擇題、填空題可能都需要借助立體幾何思維解答，在大分值的解答題中也會有專門的考察立體幾何的題，因此明確立體幾何在在高中數學解題中的應用對我們整體成績的提升就有著非常重要的作用。部分同學在解答相關數學題的過程中，不能理解立體幾何的多變性，并且邏輯思維能力達不到要求，因此就容易在解題過程中出現錯誤。因此，我主要針對立體幾何的應用方式和類型進行分析，希望對同學們有所幫助。

一、構造輔助圖形，使原命題特殊化

在解答立體幾何的過程中，構造輔助圖形是比較常用的方式，它能夠使得題中的數量關系連接起來，幫助我們簡化解題思路。輔助圖形的構造就是將原命題中的幾何關系進行重新構造，并且使得新的命題與原命題是相應的，從而使得命題特殊化，能夠較快地找到突破口，這對于提升我們的立體幾何解題效率來說是具有重要的作用的。比如：四邊形ABCD為一個矩形（圖1），PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2，作如圖2折疊：折痕EF∥DC，其中點E、F分別在線段PD、PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MF⊥CF.（1）證明：CF⊥平面MDF.（2）求三棱錐M-CDE的體積。

在解答這個立體幾何題的時候，我們首先可以根據題意將能夠從原圖中找出的線段之間的關系找出來，然后再根據題目要求進行相應的轉化。由于題目的已知條件中有PD⊥平面ABCD，因此可以得到MD⊥CF，又可以結合MF⊥CF，由線線垂直定理可以得到CF⊥平面MDF。接下來我們來解答第二個小問題，根據題意就可以得知在現有的命題圖形中是難以直接進行求解的，因此就需要構造相應的輔助圖形，依題意得，MD=√6/2，三角形CDB的面積就是√3/8，然后可以得到三棱錐M-CDE的體積為1/3倍的MD的長度，就是√2/16。所以，由這個題可以得知，在一些復雜的立體結合問題中借助輔助圖形能夠使得原命在不改變的情況下得以簡化，不僅能夠提升我們的解題效率，還能夠培養我們的數學邏輯思維。

二、變換圖形，巧用運動觀點解題

在求解立體幾何數學題的時候，經常會遇到一些求最值和幾何范圍的題目，這些大多是不能由立體幾何原圖直接求解的，而是需要對圖形進行一定程度的變化，利用運動的觀點進行解答。運動變化理念在高中物理學習過程中的應用比較多，和這種立體結合運動求解的方式類似，能夠比較準確和快速地分析題目中所給的條件，然后再進行轉化解答。比如：直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是一個直角三角形，∠ABC=90°，BC=CC=√2，AC=6，BC1上有一個隨意移動的點P，問CP+PA1的最小值。

很明顯，這個題主要是求最小距離，但是在圖3中，并不能直接求解，因此就需要將圖形進行一定程度的變換，使其轉化為運動范疇，從而求出其最小值。在解答這個題的時候，我們可以先將A1與B進行連接，然后以BC1為基礎，將△CBC1與△A1B1C1展開在同一平面上，再連接A1與C，這樣的話，A1C的長度就是題目要求的最小值。在計算過程中，可以求出∠A1C1C=90°，∠BC1C=45°，所以∠A1C1C=135°，然后根據余弦定理可以求出的A1C的長度為5√2，這就是CP+PA1的最小值。所以說，在遇到立體幾何需要求解最大值或者最小值時，就可以按照這種方式將圖形進行變換，從而幫助我們簡化題意，達到事半功倍的效果。

三、“設而不求”，簡化運算

在解答立體幾何相關問題的過程中，經常會遇到很多題目中已知條件過多但是就是缺少關鍵條件的情況，在對這類題進行解答時，通常是需要根據題意設立最合適的未知數，利用參數進行解題，構造已知條件和未知條件之間的關系，避開不需要求解的部分，從而比較快速地解答問題。設而不求的方式從一定程度上來說也會可以簡化運算的，雖然其在運算過程中增加了參數，但這只是一個對照物，然后巧妙利用參數將題目不作要求并且對解題沒有作用的數據進行替代，從而達到快速解答的目的。這種設而不求的方式在高中數學學習過程中的應用范圍比較窄，由于其在解答過程中需要借助參數，很多同學就不能夠對其進行全面掌握。總的來說，立體幾何的這種解題方式是能夠是降低題目難度的，如果同學們想要進一步了解，可以與同學和老師進行討論，我就不進行舉例了。

四、結語

綜上所述，立體幾何在高中數學學習中的應用是比較廣泛的，其解題方式在很多數學知識中都可以用到。我說說的應用方式并不完善，同學們還有補充的可以和我一起分享，希望我的論述對同學們解答相關數學題有一定的幫助。

參考文獻：

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