論“零除零等于零”的數學命題是正確的

倪維多

【摘要】“0÷0=0”的算式符合數學邏輯，是對的.反之，“0除以任何不是零的數都得0”的命題是錯的.設想“0不可做除數”的命題是荒誕的.

一、“0÷0=0”的算式符合數學邏輯

1.“0÷0=0”的算式符合數學邏輯.現在就簡單論證如下：

① 由四則運算的“零乘任何數都是零”的定律，可知：

“0×0=0”的式子成立，是對的.

因為零于事實上就列在自然數之中.任何數自應包括零.

“零乘任何數都是零”“零乘零等于零”，二者屬全稱肯定判斷與特稱肯定判斷的同真關系，乃普通邏輯學或稱形式邏輯學之常識，也毋庸置疑.

② 因為，四則運算中乘的逆運算是除，即用乘的相反的運算方法除，從已知得數求出原式中所故有的相應之數.

那么“0×0=0”算式的逆運算式子，必然且只能是“0÷0=0”.

在這里，“0÷0=0”的式子成立.是對的.而“0除以任何不是零的數都得0”的命題是錯的.見附表1.

2.由現實社會諸如球類比賽中的0∶0轉化而來的0〖〗0記數形式，正與“0÷0=0”的算式之義相通，故也可將此例的數值比關系寫成除法的完整等式.即0∶0=0÷0=0.

但是，在同一的社會場所，諸如1∶0，2∶0，3∶0，4∶0，5∶0，或者0∶1，0∶2，0∶3，0∶4，0∶5之類的記數形式，卻不能轉化為除法的等式去運算.

這又恰好證明，“零除零得零”的命題是對的.而“零除以任何不是零的數都得零”的命題是錯的.

二、設想“0不可做除數”的命題是荒誕的

3.在“0÷0=0”的算式之外，設想“0不可做除數”的命題是荒誕的，在數學邏輯領域沒有任何意義.

① 首先，在零乘任何數都是零的算式中，處于積位置的只能是0，0之外的自然數，如1，2，3，4，5等，皆非處于積的位置，也就不存在被0除的問題.故曰“0除不是零的數”之概念，于零乘任何數都是零的逆運算中是不會出現的.見附表2.

② 其次，在現實生活及人們關于數學運算題的設置中，于“0÷0=0”的算式之外，由0做除數去除0之外的自然數而求商的問題，也無從發生.

說明：兩表中01，02，03的標示法，僅在指明特定的零于“零乘任何數及其逆運算式子”中的固有位置而已.

從以上的簡單論證可知，“0÷0=0”算式的真實性和正確性來自兩個方面，一是四則運算中“0×0=0”的逆運算式子，二是由現實社會數值比關系轉化成了除法的完整等式.在“零乘任何數都是零”的逆運算式子中，因為零之外的自然數只能是乘數，故不可做被除數.在這里，無論用乘數位置的零或積位的零除其余的自然數，都是不合理的.

據此推論出“0不可做除數”命題的荒誕性，還在于它推翻了“0÷0=0”算式的真實性和正確性.

近年來，網絡上流傳著“零除零可以等于任何數”“零除零的等式不能成立”“零不能做除數”等言論，乃至在學校的講壇上也堂而皇之地廣為傳布，故寫此文以正之.