直線關于直線的對稱直線的公式

李錦成

直線l1：A1x+B1y+C1=0，關于直線l0：A0x+B0y+C0=0的對稱直線l2的方程：（A1A20-A1B20+2B1B0A0）x+（B1B20-B1A20+2A1A0B0）y+（2A1A0C0+2B1B0C0-C1A20-C1B20）=0.

證明：在直線l1上任取一點（x1，y1），設它關于直線l0的對稱點為（x，y），由中點公式可知：

A0x1+A0x+B0y1+B0y+2C0=0.（1）

1.當直線l0與y軸平行時，即B0=0，A0≠0時，

則過點（x1，y1），（x，y）的直線方程為y=y1.（2）

解方程（1）（2）得x1=-A0x-2C0〖〗A0，y1=y，

并代入l1：A1x+B1y+C1=0，得它的對稱直線方程：

A1A0x-B1A0y+2C0A1-C1A0=0.

2.當直線l0斜率等于0時，即A0=0，B0≠0時，

則過點（x1，y1）（x，y）的直線方程為x=x1.（3）

解（1）和（3），同理可得對稱直線方程：

A1B0x-B1B0y-2B1C0+B0C1=0.

3.當直線l0斜率存在且不為0時，有y-y1x-x1=B0A0.（4）

解方程（1）（4）并將x1和y1代入l1：A1x+B1y+C1=0得它的對稱直線方程：

（A1A20-A1B20+2B1B0A0）x+（B1B20-B1A20+2A1A0B0）y+（2A1A0C0+2B1B0C0-C1A20-C1B20）=0.

最后統一1、2、3，所求對稱直線l2：

（A1A20-A1B20+2B1B0A0）x+（B1B20-B1A20+2A1A0B0）y+（2A1A0C0+2B1B0C0-C1A20-C1B20）=0.

例求直線l1：3x+2y-1=0關于直線l2：y=-2〖〗3x+1的對稱直線的方程.

解把已知方程標準化：

l1：3x+2y-1=0，l2：2〖〗3x+y-1=0.

應用公式得9x+46y-59=0.

【參考文獻】

[1]王志和.點關于直線對稱點的一種求法[J].數學教學，2010（5）：31-32.