巧用多樣化算法，構建減法算理

陸佩琴

一、緣起

一名學生的想法：

在去年我教學一年級下冊“買鉛筆（十幾減9）”一課之后，一名學生緊跟著我跑出教室問道：老師，我覺得用計數器撥出的15-9=6和用小棒擺出的10-9=1再用1+5=6的方法是一樣的（如下圖），您覺得是嗎？

學生有這樣的想法，是不是我的教學中缺少了什么呢？我不禁反思自己的教學：我都是按照教材設計的問題串從小棒操作——計數器操作——脫離模型的計算，一步步進行的，會缺少什么呢？本學期，我嘗試從運算能力這一數學核心素養的角度去思考這節課.

二、怎樣發展學生的運算能力

計算教學中應該怎樣才能更好地發展學生的運算能力？為了弄清楚這個問題，先要弄清楚運算能力的概念.

《課標（2011版）》指出：運算能力主要是指能根據法則和運算律正確地進行運算的能力.培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋找合理簡潔的運算途徑來解決問題.運算不等同于計算，運算能力也并非一種單純的、孤立的數學能力.而培養運算能力的核心是讓學生理解算理，那15-9=6的算理在哪里呢？在理解算理時要追溯到數的意義，這樣來說退位減法的算理就是在不夠減時，十位上的一個十可以換成個位上的十個一，然后，經歷破十的過程.那怎樣才算理解算理了呢？鞏子坤、劉萍等人認為，理解算理可以分為四個層次：1.程序理解，2.直觀理解，3.抽象理解，4.形式理解.四個層次體現了不同的思維水平，其中形式理解是以前三個層次為基礎的，是思維的高水平體現.

回想過去的教學：很多學生在上新課之前，就已經知道了怎么去算15-9，但為什么這樣算，卻是知之甚少，這就是對減法運算的程序理解；學生能夠利用各種形式的小棒操作得出15-9=6，這種利用直觀的圖像、模型來說明運算的結果就是一種直觀理解.（用PPT呈現學生擺出的圖示，圖略）

用計數器操作撥出15-9=6，也是一種直觀理解，但相對于小棒的操作來說，計數器呈現了數的結構，它的操作顯得更為抽象，學生理解起來難度要稍大一些.

學生能夠用算式15-5=10，10-4=5或語言描述來解釋運算的結果，這是一種抽象的理解；少數學生能夠用“我知道15-10=5，9比10小1，因此，15-9的結果應該比5大1，就是6”來推理出15-9=6，這種運用已知的規律、定律、定義、并通過邏輯推理來說明運算結果的合理性就是一種形式理解.

怎樣在15-9=6的教學中，促進學生對算理的理解由低層次的水平向高層次躍進，同時，促進思維水平的提升呢？聯想到“緣起”中學生的想法，我嘗試在“計數器撥出15-9”這一環節之后設計一個溝通聯系的環節.具體如下：

教學片段：

師：同學們，你覺得用計數器畫15-9=6和前面小棒擺15-9=6之間有聯系嗎？

生：有聯系.

師：和哪種擺法有聯系？

生1：在計數器上個位先去掉5顆珠子，然后，把十位的1顆珠子換成個位的10顆珠子再去掉4顆和小棒的第（2）種方法實際上是一樣的.

師：你是怎么看出來的？

生1：去掉計數器上個位的5顆珠子，就和拿走右邊5根小棒一樣；把計數器十位上的一顆珠子換成個位的10顆珠子，再去掉4顆，就和從左邊10根小棒再拿走4根小棒一樣.所以，我覺得它們是一樣的方法.

師：你計數器上是拿1顆珠子來換的呀，小棒哪里來的1??？

生1學生沒有回答，同桌補充道：小棒里有1啊，10根小棒不就是1捆嗎？

師：哦，計數器上從十位退1當十，相當于小棒操作中把1捆拆成10根.

生2：我覺得先將計數器十位的1顆珠子換成個位的10顆珠子，去掉9顆，剩下1顆和個位的5顆合起來與小棒的第（3）方法是一樣的.

師：你又是怎樣看的呢？

生2：計數器上十位的一顆珠子換成個位的10顆珠子，就和小棒的1捆拆成10根一樣，從換的10顆珠子里去掉9顆，和從拆開的小棒里拿走9根一樣，剩下的1顆和個位的5顆合起來與小棒剩下的1根和5根合起來也是一樣的，所以，我覺得這兩種方法是一樣的.

師：看來小棒操作和計數器操作其實就是15-9=6的兩種不同操作形式.你們覺得這兩種操作形式最大的相同點在哪里？

生：都要把1個十，換成10個一，才能計算出結果.

把一個十換成十個一，也就是說十位上的1相當于10個，這不正是退位豎式減法算理根基之所在嗎？原來算理就蘊含在多樣化的算法中.通過學生的觀察、對比和交流，學生通過想象、對比，溝通了算法之間的聯系，在交流、辨析等思維活動中，學生概括總結出了小棒操作和計數器操作的相同點，為今后理解多位數退位減法的算理奠定了基礎.在這種溝通中，學生的抽象概括能力得到了提升，理解水平也上升了層次，運算能力得到發展.

總之，小學低年級的運算教學注重溝通多樣化算法之間的聯系，在操作、觀察、想象、語言交流等思辨活動中，促進對運算算理的理解，在理解中發展學生的抽象思維能力，提升運算能力.