數學思想的含義及基本特征

趙雁

樂山職業技術學院

【摘 要】近年數學教育界議論的熱門話題之一是“數學思想”這一術語，那么，究竟什么是數學思想呢？目前還未形成精確的定義，但比較一致的認識是，數學思想是人們對數學知識和數學方法的本質認識。為了深化數學思想的認識，有必要對數學思想的基本含義、特征進行探討。

【關鍵詞】含義；特征

一、數學思想的基本含義

如何理解數學思想是人們對“數學科學的本質及規律的深刻認識”呢？應該從以下兩個方面來理解。一種是狹義理解，主要是就數學知識體系而言。初等數學思想往往是指數學思想中最常見、最基本、較淺顯的內容。比如函數思想等。這些最常見、最基本的數學思想也是從某些具體的數學認識過程中提升出來的認識結果或觀點，并在后繼的認識活動中被反復運用和證實其正確性。另一種是廣義理解，即數學思想除上所述內容外，還應包括關于數學概念、理論、方法以及形態的產生與發展規律的認識，“數學思想的歷史是數學基本概念、重要理論產生和發展的歷史，也是哲學家和數學家的數學觀發展的歷史”。從的概念的形成和發展，到微積分的產生及現代數學各分支的形成，即對數學發展中所創立的新概念、新理論、新模型和新方法的認識都可以納入數學思想范疇，就初等知識內容而言，數的演變與形成，負數產生的背景，數軸概念的形成直至函數理論體系的發展過程等，都體現數學研究和發展的思想。數學知識的發展過程也是參與者數學思想的孕育、發生過程。因此，數學思想既可以“泛指某些有重大意義的、內容比較豐富、體系相當完整的數學成果”，又包括對數學的起源與發展，數學的本質和特征，數學內部各分支各體系之間對立統一關系的認識，數學與現實世界的關系及地位作用的認識。

對數學思想方法的認識。一般來講，數學方法是人們從事數學活動時的程序、途徑，是實施數學思想的技術手段.我們可以作一個比喻，數學思想相當于建筑的一張藍圖，數學方法則相當于建筑施工的手段，數學思想是內隱的，而數學方法是外顯的；數學思想比數學方法更深刻、更抽象地反映數學對象間的內在關系，是數學方法的進一步的概括和提升。如果從狹義角度理解數學思想，往往把某一數學成果籠統地稱之為數學思想方法，而當用它去解決某些具體數學問題時，又可具體稱之為數學方法。而當評價它在數學體系中的自身價值和意義時，又可稱之為數學思想。若從廣義角度理解，人們比較注重數學發展中的重大貢獻、數學家的創見和發明，突出其文化功能、思想價值，以及對社會、科技進步、發展的意義，因而更多稱之為數學思想。

二、數學思想的基本特征

1.導向性：數學思想的導向性是研究數學和解決數學問題的指導思想，是數學思維的策略。數學思想的導向性表現在它既是數學產生和發展的根源，又是建立數學體系的基礎，還是解決具體問題的“向導”，正所為：“數學的精神、思想是創造數學著作，發現新的東西，使數學得以不斷地向前發展的根源”。比如極限思想是微積分理論的基礎，又是解決許多數學問題的重要方法，而在解決具體問題中，數學思想往往起主導的作用，尤其是它對產生一個好“念頭”、一種好“思路”、一種好“猜想”提供了方向。當然，數學思想在指示解題的方向時，還為數學方法的具體實施留有應變的余地。數學思想的導向性的重要價值被愛因斯坦的名言所佐證：“在一切方法的背后，如果沒有一種生氣勃勃的精神，它們到頭來，不過是笨拙的工具”。

2.統攝性：數學思想對于具體的數學知識和方法具有巨大的凝聚力，它是聯系知識的紐帶，具有舉一綱而萬目張的作用。數學思想的統攝性主要表現在兩個方面.一是優化數學知識結構，雖然數學知識點數量的不同是影響學生數學能力的一個方面，但是，即使有同樣數量的知識點的學生，由于知識點之間聯系結構的差異，也是造成學生數學能力發展不平衡的主要因素。正像金剛石和石墨都是由六個碳原子組成，但由于碳原子的結構方式不同，前者十分堅硬，后者非常松軟。用映射思想可以將縱橫兩方面的數學知識聯結起來，起到化繁為簡、化難為易、化不可能為可能的作用。二是發展數學認知結構，數學思想在知識轉化為能力的過程中起重要的中介作用.如果說能力是知識的結晶，那么思想往往起著結晶核的作用。學生在學習教材中的定義、定理、公式等外顯知識時，若未能了解這些知識所蘊含的數學思想，則他們很難真正理解知識，深刻認識知識。就會出現數學知識學了不少，但由于缺乏數學思想的統領，知識沒有活性，能力就不可能得到發展的現象。另外，數學思想將分散的知識吸附起來，組成一個整體，并且能像滾雪球那樣越滾越大。因而就會把這種思想用于解其他問題中去，這就推動著學生數學認知結構的不斷發展。

3.概括性：人們的理性認識之所以高于感性認識，是因為理性認識能反映、揭示事物的普遍的必然的本質屬性和聯系，這就是理性認識的一大特點。數學思想在這方面具有突出的表現，即數學思想具有較高的概括性，概括性程度的高低決定了數學思想有層次之分，概括化程度高，其“抽象度”大，對數學對象本質屬性揭示得越深刻，對問題的理解也就愈透徹。例如，幾何中研究各種各樣的角，兩直線相交所成的角，兩異面直線所成的角，直線與平面所成的角，這些角的度量方法最終可由概括性統一為兩相交直線的角來度量。數學思想的概括性還表現在它能反映數學對象之間的聯系和內部規律上，例如有關二次三項式、一元二次方程、一元二次不等式等問題往往都可以歸結為一元二次函數的圖象與坐標軸交點間問題的探究，同時也反映了函數思想是對數學知識的高度概括。再如數學中一些基本方法：配方法、換元法、構造法、參數法等，進一步上升概括為映射思想。

4.遷移性：高度的概括性導致數學思想具有廣泛的遷移性。這種遷移性表現在數學內部：數學思想是數學知識的精髓，這是數學知識遷移的基礎和源泉，是溝通數學各部分、各分支間聯系的橋梁和紐帶，是構建數學理論的基石。例如，對幾何中有關角的度量的概括性認識可以指導我們對二面角的研究，導致二面角平面角概念的建立，又如由圓內接正多邊形邊倍增而趨于圓來求圓面積的極限思想可以進一步發展為分割求和的微積分思想。希爾伯特的巨著《幾何基礎》是迄今為止用公理化思想建立數學體系的最典型的著作。另一方面，這種遷移性表現在數學外部：它還能溝通數學與其他科學，與社會的聯系，產生更加廣泛的遷移.如公理化思想已超越數學理論范圍，滲透到其他學科領域.17世紀的唯心主義者斯賓莎仿效《幾何原本》的公理化思想，把人的思想、情感和欲望等當作幾何學中的點、線、面來研究，寫出了名著《倫理學》；20世紀50年代波蘭數學家巴拿赫完成了理論力學的公理化。

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