讓一年級的學生玩轉拓撲

張宏偉

[摘 要]作為一年級開學的第一節數學課，主要活動是讓學生剪莫比烏斯圈，通過其意想不到的結果，讓學生感受到數學的神奇和好玩，從而拓寬學生的數學視野，激發學生的數學學習興趣，讓學生愛上數學課、愛上數學。

[關鍵詞]莫比烏斯圈；拓撲；完整的數學

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）17-0009-03

我在提出“全景式數學教育”后，嘗試突破教材規定的內容，以合適的方式引進一些學生全面成長必需的，淺顯易懂和新奇有趣的，學生能夠直觀認識和了解的非歐氏幾何、模糊數學等非傳統內容，目的是讓小學數學更為豐富和完整，從而拓寬學生的數學視野，廣博學生的智力背景，活躍學生的思維，豐沛學生的情感，讓學生更完整地認識數學本身，更完整地認識這個世界。

于是，在一年級開學的第一課，我就引入了“莫比烏斯圈”課程。這已經是我第三次在低年級進行“莫比烏斯圈”教學了。之前兩次教學后，學生的學習過程、學習效果和家長的反響等都有力地證明：莫比烏斯圈是一年級學生能學習的、喜歡學習的課程，完全可以直觀、操作化地引入。這一課的教學目標是讓學生一入學就感受到數學的好玩和神奇，降低或者避免學生對數學和入學的“疑懼”；教師也能了解學生的動手操作能力以及關于學具的使用和整理的習慣。

該課程分兩個課時。第一課時主要是通過剪的活動讓學生感受莫比烏斯圈的好玩和神奇，激發學生對莫比烏斯圈（對數學）的興趣。下面就是第一課時的教學實錄。

一、初識莫比烏斯和莫比烏斯圈

出示PPT：

師：這個老爺爺如果還活著的話，就200多歲啦，是不是比張老師還老？

生（笑）：是！

師：這個老爺爺是德國著名的數學家，名字叫“莫比烏斯”（讓學生試著讀）。傳說他9歲的時候就發現了一種神奇的圈（出示圖2），一下就聞名世界，成了著名的數學家！

（學生瞪大眼睛聽著）

師：為了表揚他偉大的發現，人們就用他的名字“莫比烏斯”來稱呼這個圈，即“莫比烏斯圈”。

師：只要你積極地去觀察、發現和嘗試，說不定也能發現另外的一種圈。

如果是馬怡寧發現的就叫——（生：馬怡寧圈。）

如果是馬楚珺發現的就叫——（生：馬楚珺圈。）

如果是張嘉麒發現的就叫——（生：張嘉麒圈。）

……

二、 初步了解莫比烏斯圈的功用

師：不要小看這個圈，它在很多地方都有很大的用處。比如我們最喜歡玩的過山車，車道就是用莫比烏斯圈的原理制作的，如果沒有莫比烏斯圈，過山車就沒得玩了。

（播放關于過山車的視頻；我和該班班主任達成協議：如果學生在這個月能夠比較好地遵守班級的公約，就全班一起或者建議家長領著學生坐一次過山車，并參觀北京新建成的中國科學技術館大廳中的一座“三葉紐結”；播放關于打印機的色帶、機器上的傳送帶的視頻。）

師：莫比烏斯圈不光有用，如果把它剪開的話，你還會發現更神奇、更好玩的秘密。想不想試試？

生：想！

師：那我們先做個莫比烏斯圈吧。

三、做莫比烏斯圈

師（師生一起粘貼紙條，并將粘貼后的紙條與圖2進行對比）：這個圈是莫比烏斯圈嗎？

生：不是莫比烏斯圈。

師：這是一個普通的圈。

師：數學家莫比烏斯在第二次接這個紙條的時候就想到：“什么事情都要正著想想，也要反過來想想；什么事情都要正過來做做，也要反過來試試。如果把這個紙條擰一下，反過來接會變成什么樣子呢？”

生：莫比烏斯圈。

師（師生一起將紙條的一端擰過去，反向粘貼后，再與圖2進行對比）：這個圈是莫比烏斯圈嗎？

生（堅定地）：是！

四、剪莫比烏斯圈

1.剪普通圈

（1）把圈壓在一起，剪開一個小口：

（2）猜猜沿著這個小口從紙條中間剪下去，剪開后會是什么樣子。（學生都認為應該是兩個圈圈）

（3）學生剪開后發現的確是兩個圈圈，都高興地舉起來，慶祝自己的勝利。

2.剪莫比烏斯圈

（1）猜猜莫比烏斯圈從紙條中間剪下去，剪開后會是什么樣子。（絕大多數學生認為：還是兩個圈。有兩個學生說：“不對！應該是一個大圈，昨天我爸爸媽媽幫我剪了。”教師：“他們昨天做了，說：‘剪完后，還是一個圈，你們信嗎？”學生半信半疑，有的干脆自己剪了起來。）

3. 師生一起剪

剪開后的結果讓學生非常欣喜，因為他們真的有了“意外”的發現——真的是一個大圈。

“咦？”“怎么會這樣？”……還有學生脫口而出：“還是一個圈，太奇怪啦！”

個別沒有剪成功的學生十分著急，于是我定了一個新的規則：完成的同學即刻升級為“小老師”，協助沒有完成的同學一起解決問題。

所有學生都剪成功后，我追問：“如果把這個剪開的莫比烏斯圈，再從中間這樣剪下去，猜猜結果會怎樣？”

絕大多數學生認為還是一個圈，是一個更大的圈。個別學生猜測是兩個圈。

4.師生一起試著再剪

學生發現：得到的是兩個串在一起的連體圈。

■

學生感嘆道：“莫比烏斯圈真是個奇怪的圈！莫比烏斯圈太好玩啦！”

……

五、余音未了

1.不愿意……

此時下課鈴響了，我宣布下課。很多學生不愿意下課，還要剪，還在剪，還在討論……很多還沒完成操作的學生宣布：我回家去剪！

2.如果……

一個叫魏萊的女學生，提出了自己的疑問：“如果再剪一次，會是什么樣子呢？”

我向學生求助：“魏萊問我再剪一次會是什么樣，你們知道嗎？”

學生都馬上操作起來：第三次剪出的仍然是兩個連在一起的圈，第四次依然是兩個連在一起的圈。

學生都忍不住發問：“那再剪呢？”

是啊，再剪呢？

這個叫“魏萊”的學生，讓學生想象著莫比烏斯圈再剪下去的“未來”樣子！

3. 把學生的作品掛在教室外面的展板上

很多學生看著同學們的作品，都由衷地感嘆：“真的好美！”

我想他們感嘆的絕對不僅僅是展板的美，更是莫比烏斯圈的美、數學的美！

（責編 金 鈴）