剛性吊桿-水平抗風索耦合系統彎曲振動自振特性分析

趙 洋, 徐 凱, 汪志昊, 陳惟珍

(1. 同濟大學 橋梁工程系， 上海 200092； 2. 華北水利水電大學 土木與交通學院， 鄭州 450011)

剛性吊桿-水平抗風索耦合系統彎曲振動自振特性分析

趙 洋1,2, 徐 凱2, 汪志昊2, 陳惟珍1

(1. 同濟大學 橋梁工程系， 上海 200092； 2. 華北水利水電大學 土木與交通學院， 鄭州 450011)

將1對水平抗風索對鋼拱橋剛性吊桿的約束作用簡化為4個水平彈簧支撐，推導了抗風索等效彈簧剛度計算公式；基于歐拉-伯努利連續梁理論與吊桿-水平抗風索連接位置處的相容連續性條件，建立了剛性吊桿-水平抗風索耦合系統彎曲振動自振特性分析理論模型，通過與有限元結果對比驗證了該方法的準確性；明確了水平抗風索位置、剛度參數對H型、矩形剛性吊桿縱橋向弱軸彎曲振動自振特性的影響規律。研究結果表明：合理設計的抗風索對H型、矩形剛性吊桿弱軸彎曲基頻均有較大程度的提升，證實了抗風索對剛性吊桿彎曲模態減振的可行性；抗風索位置不同，對吊桿弱軸彎曲基頻的影響程度也不同，且位置參數直接決定了吊桿彎曲基頻增長極限值；相對H型吊桿，附加抗風索的矩形吊桿弱軸彎曲基頻提升潛力更大。研究成果對鋼拱橋剛性吊桿彎曲模態振動控制的水平抗風索減振參數優化設計具有重要參考價值。

剛性吊桿； 水平抗風索； 等效彈簧； 彎曲振動； 自振頻率； 振型

鋼桁架拱橋具有造型美觀、跨越能力強等突出特點，近年來在我國得到較快發展。H型和矩形截面剛性吊桿是其常用的吊桿形式，但長細比大、阻尼低的該類吊桿易誘發多種風致振動病害[1-5]，工程實踐通常采用氣動、機械阻尼和水平抗風索這三類控措施來提高剛性吊桿的氣動穩定性。氣動措施[6-9]需根據風洞試驗優化吊桿斷面改善吊桿氣動外形，但試驗周期長，費用高且減振效果有限；機械阻尼措施[10-11]多在吊桿內部安裝調諧質量阻尼器(Tuned Mass Damper, TMD)，通過增大吊桿附加阻尼減小風振幅值，但存在吊桿復雜邊界條件下的TMD失諧、魯棒性等問題；水平抗風索減振措施采用輔助索將多根吊桿串聯，增大吊桿剛度，提高吊桿-抗風索耦合系統的自振頻率進而增大吊桿風致振動起振風速，典型工程應用有美國Tacony Palmyra橋H型吊桿、加拿大Peace River橋圓形吊桿[12]以及國內佛山東平大橋H型吊桿。雖然水平抗風索減振措施具有諸多優點，也已在工程中得到廣泛應用，但既有抗風索研究主要針對斜拉橋拉索的輔助索[13-14]減振，文獻調研尚未發現吊桿-水平抗風索耦合系統自振特性理論分析模型及其求解方法。此外，抗風索減振措施目前僅用于H型吊桿扭轉顫振控制、圓形吊桿彎曲振動控制，矩形吊桿則多采用TMD減振。因此，建立剛性吊桿-水平抗風索耦合系統彎曲振動理論分析模型，開展抗風索減振措施對矩形吊桿的可行性與適用性研究，明確抗風索參數對吊桿彎曲振動特性的影響規律，具有重要的工程應用價值。

本文將抗風索對吊桿的剛度增強作用簡化為彈簧彈性支承，推導了抗風索等效彈簧剛度計算公式；基于歐拉-伯努利連續梁理論，結合吊桿-抗風索連接處的彎曲相容連續性條件，建立了剛性吊桿-水平抗風索耦合系統(后文簡稱吊桿-抗風索耦合系統)彎曲振動自振特性分析理論模型，并得到了有限元方法的驗證；明確了抗風索位置、剛度參數對吊桿彎曲振動基頻與振型的影響規律，可為吊桿減振用抗風索參數優化設計提供重要參考。

1 吊桿-抗風索耦合系統彎曲振動理論模型

1.1 吊桿-抗風索耦合系統

針對實橋剛性吊桿縱橋向弱軸彎曲基頻低的特點，抗風索在縱橋向將各吊桿串聯，抑制吊桿繞弱軸的彎曲振動。以工程中常見的開口H型和閉口矩形截面吊桿為例，建立H型、矩形剛性吊桿-抗風索耦合系統理論模型，如圖1所示。

圖1 吊桿-抗風索耦合系統

吊桿一般與主拱肋及橋面系通過高強螺栓連接，連接處剛度大，理論模型中將吊桿邊界條件簡化為兩端固結。將1對水平抗風索對吊桿弱軸彎曲振動(y方向)的約束作用簡化為吊桿兩側4個水平彈簧彈性支承[13]，并假設其彈性支承剛度分別為k1、k2、k3和k4；在彈性支承位置X1處，吊桿全長L被分為兩段，分別為l1、l2，有X1=l1/L；吊桿弱軸(y方向)彎曲振動位移用yi(x,t)描述，i表示第i段吊桿，i=1,2；t為時間；H型吊桿腹板、翼板寬高及厚度尺寸分別為a1、b1、t1、w1，矩形吊桿寬、高及壁厚分別為a2、b2、t2、w2；N為吊桿兩端軸向拉力。

1.2 吊桿彎曲振動微分方程

實橋剛性吊桿長細比大，阻尼小，可忽略吊桿轉動慣量、剪切變形及固有阻尼對吊桿彎曲自振頻率的影響，由此將吊桿簡化為軸向力作用下的兩端固結歐拉-伯努利梁。

假設吊桿運動為符合平截面假定的彎曲振動，根據歐拉-伯努利連續梁理論[15-17]，取吊桿任一x處截面微元dx，則軸向力作用下吊桿微元dx的彎曲振動受力如圖2所示。

由圖2列出吊桿振動y方向力的動平衡方程及關于c點(吊桿橫截面與中性軸交點)的力矩平衡條件：

(1)

圖2 剛性吊桿微元

(2)

聯立式(1)和式(2)可得吊桿彎曲振動微分方程：

(3)

1.3 抗風索等效彈簧剛度

抗風索對矩形吊桿的彈性支承作用(H型吊桿與此相同),如圖3所示，可將吊桿在同一截面處受到4個水平彈性支承的約束作用等效為1個剛度為K的等效彈簧。

圖3 抗風索對矩形吊桿受力分析

由圖3可知，吊桿在抗風索位置X1處受到的水平彈性支承作用力為

(4)

吊桿在抗風索位置X1處的等效彈簧平衡方程為

(5)

(6)

1.4 吊桿-抗風索耦合系統彎曲模態自振特性求解

根據結構動力學分離變量法[18]，第i段吊桿彎曲振動水平位移yi(x,t)的通解可表示為：

(7)

式中：φi(x)為第i段吊桿彎曲振動模態振型函數，i=1，2；ω為吊桿-抗風索耦合系統彎曲自振圓頻率。式(7)代入式(3)可得：

(8)

由式(8)解得φi(x)：

φi(x)=Aisin(δx)+Bicos(δx)+Cisinh(εx)+Dicosh(εx)

(9)

式中：

Ai、Bi、Ci、Di為第i段吊桿實常數。

吊桿彎曲振動在抗風索位置X1處的位移、斜率、彎矩和剪力的相容連續性條件[19-20]分別為

(10)

(11)

(12)

(13)

式(7)代入式(10)～(13)，吊桿相容連續性條件可化簡為

(14)

吊桿兩端固結邊界條件[21]可表示為

(15)

將式(9)分別代入式(14)、(15)并聯立寫為矩陣形式：

(16)

式(16)中：

R12=

R21=

式中：λ1=δ3+δ，λ2=ε3-ε；ψ為待定參數向量，ψ=[A1B1C1D1A2B2C2D2]T。

若使得方程具有非平凡解，則有

(17)

式(17)中，只有ω一個未知數，通過MATLAB軟件編程并利用Newton-Raphson 公式，可求得吊桿-抗風索耦合系統彎曲自振圓頻率ω，將ω代入式(16)可得各段吊桿振型參數ψ，從而根據式(9)可獲得整段吊桿振型，基本計算流程，見圖4所示。

圖4 程序流程圖

2 有限元分析與驗證

2.1 吊桿與抗風索參數

(a) H型吊桿

(b) 矩形吊桿

分別選取某兩座鋼桁架拱橋的H型、矩形剛性吊桿，截面尺寸如圖5所示，基本參數見表1。抗風索采用fpk=1 860 MPa，7φs15.2 mm鋼絞線，彈性模量Ep=1.95×105MPa，泊松比γ=0.3，密度ρ=8 600 kg/m3。

表1 吊桿基本參數

2.2 吊桿-抗風索耦合系統有限元模型

吊桿壁厚與特征尺寸比值很小，忽略剪切變形及轉動慣量的影響，采用SHELL63殼單元模擬(圖6)。吊桿邊界條件處理為高強螺栓區一端固結，另一端釋放軸向自由度并施加軸向荷載初位移ΔL模擬軸力幾何剛度對吊桿彎曲自振頻率的影響，ΔL為實橋抗風索采用夾片式錨具將其錨固于主拱肋兩側的錨塊[22]。抗風索采用LINK10桿單元模擬，邊界條件兩端固結，通過設置初應變實常數模擬抗風索初張力。抗風索與吊桿一般采用索卡連接，有限元建模忽略兩者的接觸摩擦作用，以耦合重合節點的方式處理。

(18)

(a)H型吊桿?抗風索耦合系統(b)矩形吊桿?抗風索耦合系統

圖6 吊桿-抗風索耦合系統有限元模型

Fig.6 Finite element model of the coupled system with a hanger and wind-resistant cables

2.3 吊桿第1階彎曲自振頻率與振型驗證

取ζ=1 092 kN/m1作為抗風索等效彈簧剛度K的基準值，此時對應的抗風索長度lp=200 m，截面面積Ap=1.4×10-5m2(0.1根前述規格鋼絞線)。以工程中最為關心的吊桿弱軸第1階彎曲模態為例，分別采用本文理論方法與有限元計算抗風索位置、剛度參數分別為l1/L=0.25、0.5，K=10ζ、100ζ時的吊桿彎曲模態自振頻率與模態振型，見圖7及表2、3所示。表3中的“彎曲模態振型平均誤差”指的是在x/L∈[0,1]區間等間距取100個數據點，所有數據點對應理論解與有限元結果振型數據誤差的代數平均值。

(a) H型吊桿

(b) 矩形吊桿

由表2可知，各工況下所求得的吊桿第1階彎曲自振頻率理論解與有限元結果誤差很小，均不超過2%；圖7與表3可見，吊桿第1階彎曲振型的理論解與有限元曲線也高度吻合，彎曲模態振型平均誤差極小，均未超過0.5%。可見，本文所述理論方法對求解吊桿-抗風索耦合系統第1階彎曲自振頻率及相應振型具有較高的精度。

表2 吊桿第1階彎曲自振頻率對比

表3 吊桿第1階彎曲模態振型平均誤差

3 吊桿-抗風索耦合系統彎曲振動自振特性

3.1 抗風索位置、剛度參數對吊桿第1階彎曲自振頻率的影響

基于第2節H型、矩形吊桿參數信息，采用本文理論方法，分析吊桿第1階彎曲自振頻率隨抗風索位置、剛度參數的變化規律，如圖8所示。圖中f1為吊桿第1階彎曲自振工程頻率，有f1=ω/2π。由圖可見：

(1) 隨著抗風索位置和剛度變化，H型、矩形吊桿第1階彎曲自振頻率曲線具有相同的變化趨勢：同一抗風索位置l1/L處，吊桿第1階彎曲自振頻率均隨抗風索等效彈簧剛度K的增大而增大，前期增長較快(H型：K≤10ζ；矩形：K≤20ζ)，后期增幅逐漸減小直至出現多曲線重合(H型：K≥50ζ；矩形：K≥500ζ)，此時吊桿第1階彎曲自振頻率趨于極限值；抗風索等效彈簧剛度K一定時，抗風索越靠近吊桿中心位置處，吊桿第1階彎曲自振頻率曲線斜率越大，增幅越大，并于x=0.5L取得最大值。抗風索等效彈簧剛度K越大，對吊桿的約束作用越強，吊桿第1階彎曲自振頻率越大，當抗風索位于吊桿中心位置(l1/L=0.5)，此為吊桿第1階彎曲振型節點坐標最大處，抗風索對吊桿的約束作用最強，頻率提高值最大。

(2) 同一抗風索位置處，矩形吊桿第1階彎曲自振頻率曲線隨K的增加變化較為均勻，各頻率曲線間距逐漸減小，當K≥500ζ后各曲線近乎重合；H型吊桿在K≥50ζ后即出現多部分重合，即較小的抗風索等效剛度即可使得H型吊桿第1階彎曲自振頻率達到極限值，而矩形吊桿第1階彎曲自振頻率極限值所對應的抗風索等效剛度遠大于H型吊桿。

可見，當優先控制吊桿第1階弱軸彎曲振動時，抗風索宜設置在吊桿中心位置處，此時吊桿第1階彎曲自振頻率提升顯著。因此，后文僅針對抗風索位于吊桿中心位置處這一特殊情況(以下簡稱：吊桿-中點抗風索耦合系統)，對吊桿第1階彎曲自振頻率及振型隨抗風索等效彈簧剛度的變化規律開展研究。

(a) H型吊桿

(b) 矩形吊桿

3.2 吊桿-中點抗風索耦合系統第1階彎曲自振頻率隨抗風索等效彈簧剛度的變化規律

圖9 吊桿第1階彎曲自振頻率隨抗風索等效彈簧剛度K的變化

分析圖9結果可知：

(1) H型、矩形吊桿第1階彎曲自振頻率均隨抗風索等效彈簧剛度K的增加逐漸增大，開始增長較快，后期逐漸變緩并趨于極限穩定值，該值為H型和矩形原型吊桿1/2長度的第1階彎曲自振頻率，則H型吊桿第1階彎曲自振頻率最大可提高到原值的3.12倍，矩形吊桿可提高到原值的3.76倍，增幅明顯，充分說明了抗風索不僅適用于H型吊桿，對矩形吊桿第1階彎曲自振頻率的提高也具有顯著效果，進一步驗證了抗風索對兩種截面形式吊桿的適用性、可行性。

(2) 抗風索等效彈簧剛度較小時(K≤20ζ)，H型吊桿第1階彎曲自振頻率的增幅大于矩形吊桿；隨著K的增大(K≥100ζ)，H型吊桿第1階彎曲自振頻率逐漸趨于穩定，而矩形吊桿第1階彎曲自振頻率繼續增加并超越H型吊桿；H型、矩形吊桿分別對應K取100ζ、1 000ζ時達到準穩定值，這是由于H型吊桿弱軸抗彎剛度相對矩形吊桿偏小(表1)，附加較小的抗風索等效彈簧剛度即可取得頻率極限值。

3.3 吊桿-中點抗風索耦合系統第1階彎曲振型隨抗風索等效彈簧剛度的變化規律

吊桿-中點抗風索耦合系統H型和矩形吊桿第1階彎曲振型隨抗風索等效剛度的變化規律如圖10所示，可見：

(1) 隨著等效彈簧剛度K的增大，H型、矩形吊桿振型幅值最大值位置均由x=0.5L逐漸變為x=0.25L和0.75L兩處；等效彈簧剛度K越大，吊桿振型節點坐標φ(0.5)數值越小，并逐漸趨近于0。K越大，對吊桿的約束作用也越強，當大于某一闕值時，吊桿在此處趨于固結，彎曲模態位移接近0，吊桿變為完全獨立的兩段，這就進一步解釋了3.2節中吊桿第1階彎曲自振頻率極限值與吊桿1/2長度對應的彎曲基頻完全相等的現象。

(2) H型吊桿在K=ζ時φ(0.5)逐漸減小，而矩形吊桿在K=ζ時幾乎無任何變化；K=500ζ時，H型吊桿在抗風索位置處已經嵌固，φ(0.5)=0，矩形吊桿在K=104ζ時固結，兩者K值相差較為懸殊。

(b) 矩形吊桿

4 結 論

本文建立了剛性吊桿-水平抗風索耦合系統彎曲振動自振特性分析理論模型，研究了抗風索位置、剛度參數對吊桿-抗風索耦合系統第1階弱軸彎曲自振頻率及振型的影響規律。主要結論如下：

(1) 抗風索位置參數對H型和矩形吊桿第1階彎曲自振頻率極限值起決定性作用，抗風索位置越靠近吊桿端部，頻率增量越小，而當接近吊桿中點位置時，頻率增量顯著。

(2) 本文算例中H型、矩形原型吊桿第1階彎曲自振頻率可分別提高到原值的3.12倍、3.76倍，2種吊桿彎曲自振頻率均大幅提升。因此，抗風索不僅適用于H型吊桿扭轉模態減振，對吊桿弱軸彎曲振動抑制也具有一定的可行性。

(3) 抗風索位于H型、矩形吊桿中點位置處，且等效彈簧剛度K大于某一闕值時，抗風索位置處吊桿近似固結，此時吊桿第1階彎曲自振頻率接近原吊桿1/2長度時的第1階彎曲自振頻率，且H型吊桿所需的抗風索等效彈簧剛度闕值遠小于矩形吊桿。

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Free flexural vibration characteristics analysis of a rigid hanger-horizontal wind resistant cables coupled system

ZHAO Yang1,2, XU Kai2, WANG Zhihao2, CHEN Weizhen1

(1. Department of Bridge Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. School of Civil Engineering and Communication, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450011, China)

The restriction effects generated by a pair of horizontal wind resistant cables on a rigid hanger of a steel arch bridge were simplified as four equivalent springs. Then, the calculation formula for the equivalent spring stiffness of wind resistant cables was deduced. Based on Bernoulli-Euler beam theory and compatibility and continuity conditions of the connection position of the rigid hanger and horizontal wind resistant cables, a theoretical model for free flexural vibration characteristics analysis of a rigid hanger-horizontal wind resistant cables coupled system was established. The correctness of the theoretical model was verified through comparing its results and those of the finite element method. Finally, the effects of position and stiffness parameters of horizontal wind resistant cables on free flexural vibration characteristics of rigid hangers with H-type cross-section and rectangle-type one in longitudinal weak-axis direction were clarified. It was shown that the flexural vibration fundamental frequency in weak-axis direction of the two types hangers increases obviously due to reasonable design of wind resistant cables, so wind resistant cables are feasible for flexural vibration control of rigid hangers; the effect of wind resistant cables on the flexural fundamental frequency of the hangers varies with their different positions, the limit value of increase in the flexural fundamental frequency of the hangers is dependent upon position parameters of wind resistant cables; comparing with H-type hangers, rectangle-type hangers adding wind resistant cables have a larger potential to increase their flexural fundamental frequency in weak-axis direction. The study results provided a reference for optimal design of parameters of horizontal wind resistant cables to control flexural vibration of rigid hangers of steel arch bridges.

rigid hanger; horizontal wind-resistant cable; equivalent spring; flexural vibration; natural frequency; modal shape

國家自然科學基金(51308214)；國家重點基礎研究973計劃(2015CB057702)；河南省教育廳科學技術研究重點項目(13A560711)；河南省高校科技創新團隊支持計劃(15IRTSTHN028)；河南省高等學校青年骨干教師資助計劃(2015GGJS-104)

2016-07-20 修改稿收到日期：2016-09-12

趙洋 男，博士生，副教授，1978年10月生

陳惟珍 男，博士，教授，1962年11月生

TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.014