以概念課教學為例談如何培養學生發現問題能力

楊子圣

（江蘇省泰州中學）

摘 要：2016年江蘇省規劃課題《培養中學生數學學科發現問題能力的實踐研究》從開題至今，已近一年時間，一年中課題組成員從不同的維度展開了深度的研究，以課堂教學為例進行課題的實證研究也初有成果，其中在概念課中培養學生發現問題能力的研究值得推介，以饗讀者。

關鍵詞：概念課教學；學生；發現問題能力

當前，關于如何培養學生發現問題能力的研究較多，但概念課如何培養數學學科發現問題能力的研究較少。究其原因是對概念課核心任務和教學定位的理解不到位，大部分人認為概念課的教學側重點在概念的生成、發展和延伸，從而忽略了概念課中培養學生發現問題能力的功能。下面以蘇教版中向量數量積的坐標運算為例談如何在概念課中培養學生發現問題的能力。

培養學生發現問題的能力就是要培養學生“生疑”的習慣，要能“生疑”就要學會尋找“疑點”?！耙牲c”在哪兒，在概念的提出、概念的推導證明、概念中數式結構特征中，在對概念的正、反實例以及變式中。

一、概念的提出

教材再現：若兩個向量為a=（x1，y1），b=（x2，y2），如何用a，b的坐標來表示它們的數量積？

疑點：為什么要提出這樣一個問題呢？

解釋：通過上一節課的學習，向量的坐標表示，可以將向量的形隱于數中，便于對向量的研究，那我們自然會想，向量的坐標能不能運用在其他方面。

向量的坐標表示，如果能較方便地對向量的數量積進行處理，那么這樣一種方法就應該可以推廣的，今后遇到向量問題，我們是不是應該考慮將向量坐標化，這正是“解析法”思想的形成。同時，今后在學習一些概念后，自己是不是也可以提出類似的問題。在提出類似問題的時候，發現問題的源頭就打開了。

二、概念的推導證明

教材再現：設i，j分別是x軸和y軸上單位向量，則：i·i=1，j·j=1，i·j=j·i=0

因為a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，

所以a·b=（x1i+y1j）（x2i+y2j）=x1x2i2+x1y1i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2.

疑點1：課本中為什么會想到用這種解法或證法？

疑點2：除了這種解法外，有沒有其他的解法或證法？

疑點3：如果有其他解法或證法，哪種解法或證法最優？哪種解法或證法具有一般性？哪種解法或證法具有特殊性？

定義是解決問題的基礎，回歸定義可使問題獲得解決，今后在解決問題時不妨將定義法作為首選。課本中的證法是利用了向量坐標的定義，那么能否利用向量的數量積的定義呢？結論是肯定的。這兩種證法哪種更好呢？利用向量數量積的定義證明會略顯繁冗。

這樣一個個疑點從提出到解決可以讓學生加深對概念本質屬性認識的同時，學會對某種解法或證法提出質疑，養成一種良好的思維習慣。

三、數式結構特征

教材再現：兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和，即a·b=x1x2+y1y2.

疑點：向量數量積的坐標形式是否有似曾相識的感覺？

向量數量積的坐標形式是一個等式，一邊是一個數，另一邊是兩個積之和，與直線的方程形式有點像。那么直線的方程能否用向量的數量積來解釋呢？如3x+4y=5，它表示向量a=（3，4）和向量b=（x，y）的數量積為5，這就說明b向量在向量a上的投影總等于一個定值，利用數形結合可知向量b的終點軌跡在一條直線上。通過這樣的分析，我們就給式子3x+4y=5賦予了幾何意義。遇到類似于已知x2+y2=1，求3x+4y的取值范圍時，就可以理解為一個定向量（3，4）和可變向量（x，y）的數量積，借助數形結合，可使問題獲得快速解決。

波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“教師可以啟發學生思考，‘你是否見過相同的問題而形式稍有不同？以前的研究方法和結果能否加以利用？”在解題中如此，在概念課教學中同樣可以通過對數式結構等進行質疑，將知識進行關聯，實現數學教學中對某種知識的螺旋式的認識，在認識的過程中不斷發現問題。

發現數學問題的能力的培養是一個系統工程，這就要求教師能發揮自己的智慧，努力培植能讓學生學會發現問題的土壤，讓數學教學的全過程都具有這樣的功效。這其中當然少不了概念課的教學，要讓數學概念課不僅僅停留在對概念中字詞的理解，對概念中的公式記憶和應用上，而是通過一個質疑，讓學生學會發現一個新概念是如何產生的、發展的，進而學會自己去提出問題，解決問題。從這個層面看，數學概念課也能成為推開學生發現問題的一扇窗，對此，我們滿懷憧憬。

參考文獻：

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