透過現象看本質

陸紅梅

【摘要】小學數學中有許多經典題型，如“工程問題”“追及問題”“相遇問題”“雞兔同籠問題”等，這些典型問題不僅能考查學生對相關知識的掌握情況，也能檢測學生運用知識的靈活度和變通能力，所以在各級各類試卷中出現的頻率非常高。非但如此，此類題目總是以不同的“面貌”出現，雖然無非是“換湯不換藥”“新瓶裝舊酒”，但是，經過一定的“易容術”后，極具迷惑性。因此，如何讓學生多長個“心眼”，迅速辨識其本質，顯得十分重要。

【關鍵詞】經典題型 變式 本質 規律 辨識

一次期末測驗，有這樣一道題：

甲、乙兩支施工隊開鑿一條隧道，甲隊單獨施工需要天，乙隊單獨施工需要天，如果甲、乙兩隊同時施工，多少天后隧道還有一半沒有打通？

結果，學生中大部分對工程問題很精通的“老司機”也栽在這道題目上，錯誤率高達60%。細細捋一下這些錯誤，兩種犯錯情況占主流：

（1）（1-）÷（+）=（天）

（2）÷（+）=（天）

其實，這是一道難度系數不高的工程問題，主要考查工作時間、工作效率、工作任務量三者之間的數量關系。只有搞清每一步所求的問題與條件之間的關系，才能選擇正確的數量關系解答。

一、卸下“偽裝”條件，恰當取舍信息

如果學生將以往的題型范式帶入到審題印象中，一見到“合作施工”問題，就想當然地照搬照套固有公式，必然會誤入歧途，陷入迷局。上題中的錯誤就是因為部分學生沒有仔細甄別、區分經過“偽裝”的條件，盲目套用“1÷（+）”這個原始公式導致的。我們應該要求學生在解題時謹慎考慮慣性思維，是不是高度契合當前的題目要求，對學生列出的算式“（1-）÷（+）=（天）”及時進行糾偏，誘導學生反思，將學生從誤區中抽離出來，將問題指向學生潛意識疏漏的角落，使其知其然，并知其所以然。這對于激發學生自主探究，提高學生觀察的敏銳性、洞見性、警覺性至關重要。

此題中“偽裝”的條件有：將甲、乙兩個施工隊單獨打通隧道所需時間數由常態下的“整數”改為分子是“1”的“分數”，然后把習慣性的“完工”改為“完成一半”。

卸下這些“偽裝”，我們仍然可以透過現象看本質，死死抓住“工作任務÷工作效率=工作時間”這個“母公式”以及由此衍生出的一些“子公式”——“工作總任務÷單干工作效率=單干工作時間；工作總任務÷合作工作效率=合作工作時間；部分工作任務÷工作效率=部分工作時間”等求出正確解答。

仍然把抽象的工作總量設為單位“1”，先分別求出甲、乙兩隊單獨施工時的工作效率，也即是甲、乙兩隊一天能完成的作業量，然后將兩隊工作效率進行數據疊加，即可得出合作時的工作效率，最后求出還有一半隧道沒有打通時所用的時間。正確算式為：（1-）÷（1÷+1÷）=（天）。

二、破解表象，認識問題本源

這類經典問題（工程問題）的教學，常規方法是通過對課本上一些具有代表性的簡單例題的分析，歸納出一個解題模式，形成初步印象，積累一些不成熟的經驗。然后學生依照模式解題，來應對一切“工程問題”，致使學生把非本質的特征誤認為本質特征，甚至根本抓不住本質屬性，無所適從。這次抽檢中，不少學生就把題目中提供的工作時間誤解為工作效率，將重要數據張冠李戴、顛三倒四，引發思維混亂。工作時間這個關鍵數量，在經驗題型的表述中，通常為整數“m”，然后除工作總量“1”得“”。如果在我們的日常教學中能向學生提供足夠多的變式題型，進行充分的變式訓練，引導學生認識到多種變式的可能，就可以有效促使學生掌握本質屬性。

仍以本題為例：甲、乙兩個施工隊單獨打通隧道所需時間，可以是整數，也可以是分數和小數，甚至可以是帶分數、假分數。這樣可以讓學生明確工作效率中的m、n可以是不同的數據。解題時，欲求甲、乙兩隊的工作效率則必須將1分別除以m、n。大多數變式題與原型題大體一樣，只是題目中的個別條件發生了形式上的改變。關鍵時刻，我們一定要心細如塵，明察秋毫，看清每一句提示，可以做上記號，通過觀察、對比、分析、推理、綜合，審清題目給的條件和要求。

三、審視答案，發現可疑線索

解答完畢后，要養成認真檢查的好習慣，確保解答的完整性和正確性。

檢查絕不是簡單地復核答案，查驗演算是否正確，步驟是否到位，對于變式題型，檢查更重要的是意味著，要從數據、事理、算理、常識等幾個方面來仔細核查答案的合理性。同時，也能從小培養學生的自主架構能力。

上述錯題中的錯誤結果天，明顯可以看出，因為>÷2=，>÷2=。這顯然是違背常識的，因為合作施工完成工程量耗時比任何一方單獨施工完成同樣多的任務量還要長，這是不可能的。如果學生對答案加以檢驗，或者估算一下，就能覺察到解題結果是有紕漏的。學生在驗算中，經常“反思、反問、反省”，不僅可以保證解答的正確性，而且可以進一步厘清題中的數量關系，找出錯誤的原因，調整解題思路，鞏固和提高解題能力。

因此，筆者認為在以后的教學中，這些問題應該引起我們的足夠重視，如果能夠從以上三個方面指導教學，就可以收到預期的效果。教師要隨時觀察學生的學習動向，找準不良癥狀，及時把脈問診，特別是在面對經典題型的變式問題時，更應該未雨綢繆，在遇到變式前，多提供變式訓練，增強“免疫力”，打好“預防針”。?