“牛頓問題”的歸納及推廣初探

鄒軍文

摘 要：在“牛頓問題”的計算中，通過計算消耗原量、消耗品單位時間增加（減少）的數量、第三次主體量、第三次消耗時間四者之間的關系，使土地利用率盡可能最大化，也可以用于其它資源或時間、空間的運算使利益最大化。

關鍵詞：“牛頓問題” ；轉化；統一

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）17-0034-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.17.019

一、發現并提出問題

現在環境保護已經成為世界性的問題，人們在日益關注環境的同時，也在關注著如何進行土地保護和提高土地的利用效率。

畜牧業作為用地較多的行業，在與圈地運動高潮同時期的英國偉大的科學家牛頓在其著的《普通算式》中曾編過這樣一道題：12頭牛4周吃草3格爾，同樣的牧草21頭牛9周吃10格爾。問24格爾牧草多少頭牛18周能吃完（格爾為牧場面積單位）？（以后人們稱這類“牛吃草”的問題叫做“牛頓問題”）。這道題從經濟角度上講，初步提出了人地矛盾的關系，而在數學上，也不失為一道經典題目。

二、建立數學模型

我先從幾道基礎經典題型來尋找解決方法。

例1. 牧場上有一片青草，每天勻速生長，這片青草可供24頭牛吃6周，18頭牛吃10周，問可供19頭牛吃幾周？

分析與解答：解題關鍵是先求出原有的草量和每周新長出的草量。

從題意可知，18頭牛吃10周的總草量比24頭牛吃六周的總草量多，多出的部分就是1016=4（周）新長出的草量。為了求出每周新長出的草量，我先假設1頭牛1周吃的草量為1份，那么24頭牛吃6周的草量為24×6=144（份），18頭牛吃10周的草量為18×10=180（份），則4周新長出來的草量為1801144=36（份），每周新長出來的草量即為36÷4=9（份），因此可以用14419×6或18019×10求出原有草量為90份。有了原有草量和每周新長出的草量，就可以很快解答。

解答過程如下：

假設每一頭牛一周的吃草量為1份。所以24頭牛共吃草24×6=144（份），18頭牛18×10=180（份），每周新長出長草量為：（180-144）÷（10-6）=9（份），原有的草量為：144-9×6=90或 180-9×10=90。每周新長草9份可以安排9頭牛吃一周，因此其作10頭牛吃原來的草，所以19頭牛吃完的周數為90÷（1919）=9（周）。

答：可供19頭牛吃9周。

例2. 一塊草地，可供12頭牛吃12天，15頭牛吃8天。如果草能勻速生長，那么這塊草地可供多少頭牛吃6天？

分析與解答：因為已經有第一題鋪墊，所以草地每天生長量為：（12×12-15×8）÷（12-8）=6（份）原有草量為：12×12-6×12（或15×8-8×6）=72（份），現在缺失條件，所以改變思路，原有草量6天可以供牛72÷6=12（頭），每天新長出的草6份相當于可供6頭牛，所以一共可以養牛12+6=18（頭）。

答：這塊草地可供18頭牛吃6天。

例3. 12頭牛4周吃草3格爾，同樣的牧草21頭牛9周吃10格爾。問24格爾牧草多少頭牛18周能吃完（格爾為牧場面積單位）？

這就是所謂的“牛頓問題”。

分析與解答：前兩道題都只有1塊草地，而此題的這一條件被打破，出現了3塊草地，我們需要把3塊草地的面積統一起來。

已知3塊草地面積的最小公倍數為[3，10，24]=120，所以可以做出如下轉換：

第一塊3格爾的牧草，12頭牛在四周內吃掉，因為120÷3=36，所以即120格爾的牧草可供12×36=432（頭）牛吃四周。

同理可得，第二塊10格爾的牧草，即為120格爾的牧草可供21×12=252（頭）牛吃9周。第三塊24格爾的牧草，即為求120格爾的牧草可供多少頭牛吃18周。至此，此題與例2基本相同，計算可知為180頭，因為120÷24=5，所以24格爾的牧草可供180÷5=36（頭）牛吃18周。

例4. 有一塊牧場長滿了牧草，每天牧草勻速生長。這塊牧場的草可供17頭牛吃30天，也可供19頭牛吃24天，現在有一些牛在這塊牧場上吃草，6天后，其中4頭牛被賣了，余下的牛用2天時間將牧場上的草吃完。問：開始有多少頭牛在吃草？

分析與解答：前三道題在最后需要解答的情況中，牛數都是不變化的，在第3題中解決了初始值不同的問題，而在此題中，牛數卻發生了變化，我們先求可牧草每天新長出的數量（17×30-19×24）÷（30-24）=9（份），牧場原有草量17×30-9×30（或19×24-9×24）=240（份），最后我們可以采用假設法：假設4頭牛沒有被賣掉，則共吃了240+9×8+4×2=320（份），所以開始有牛320÷8=40（頭）。

答：剛開始有40頭牛在吃草。

三、反思

通過上述分析，理論上可以用來解決如下問題：剛開始有一個消耗原量，這個量會以一定的速度勻速增加或減少，有多個主體，以一個恒定的消耗速度消耗，獨立作用于消耗原量，直至在一定時間內消耗完畢。基本的運算步驟如下：

第一步，從題目中提取第一次主體量a和消耗時間A， 第二次主體量b和消耗時間B。第三次主體量c，消耗時間為C。

第二步，判斷題目中所給定情況中的消耗品初始值Q是否一致，如果是，令P=Q，進行第四步；否則，計算給定初始值Q1，Q2，Q3的最小公倍數P后進行第三步。

第三步，計算a1= P÷Q1×a， b1=P÷Q2×b。

第四步，得出消耗品單位時間增加（減少）量D=∣Aa-Bb∣÷∣A-B∣或D=∣Aa1-Bb1∣÷∣A-B∣。

得出消耗品原來數量M=Aa1AD或M=Bb1BD。

若初始值不同，則用a1，b1計算。

第五步，計算第三次消耗時間C=M÷（c1-D）或第三次主體量c=M÷C+D。

第六步，考慮倍數關系，回歸原題，結束運算。

四、實用價值

在“牛頓問題”的計算中，通過計算消耗原量、消耗品單位時間增加（減少）的數量、第三次主體量、第三次消耗時間四者之間的關系，使土地利用率盡可能最大化。也可以用于其它資源或時間、空間的運算使其價值最大化。

不過，以上的結論都是在一個理想化的環境中運行的結果，在實際中的運用要考慮更多方面的因素。

參考文獻：

[1] 馬永紅."牛頓問題"分數解法的補充[J].中小學數學（小學版），2015 （1） ：87.

[2] 范有根.巧解牛頓問題[J].數理化解題研究：初中版， 2008（4） ：11- 12.

[責任編輯 房曉偉]