讓拋物線的準(zhǔn)線解題“給力”

摘要：本文通過(guò)舉例說(shuō)明了如何利用拋物線的準(zhǔn)線來(lái)解決焦點(diǎn)弦的相關(guān)問(wèn)題，闡明了如何進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化

關(guān)鍵詞：拋物線；準(zhǔn)線；等價(jià)轉(zhuǎn)化

作者簡(jiǎn)介：邢懷勇 （1975-）， 男，本科，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)解題方法的研究.

我們先看拋物線的概念：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直線l上）.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.若能重視定義在解題中的應(yīng)用，靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化做到“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，那么 解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題時(shí)就可避免繁瑣的推理與運(yùn)算，使解題變得輕松簡(jiǎn)單.下面試舉幾例加以說(shuō)明.

例1（2008·遼寧）已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 （）

A172B3C5 D92

解析如圖1所示，由拋物線的定義知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-12的距離d 等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|因此點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離之和可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離之和，其最小值為點(diǎn)M（0，2）到點(diǎn)F12，0的距離，則距離之和的最小值為4+14=172

點(diǎn)評(píng)此處利用拋物線的定義，把點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-12的距離d 等價(jià)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|，從而構(gòu)造出M、P、F三點(diǎn)共線時(shí)出現(xiàn)距離和的最小值，充分體現(xiàn)出“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”的妙處.

例2如圖2所示，過(guò)拋物線y=14x2焦點(diǎn)F的直線交拋物線與圓x2+（y-1）2=1于A、B、C、D四點(diǎn)，則|AB|·|CD|=

解析設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∵y=14x2的準(zhǔn)線方程為y=-1

由拋物線的定義知|AF|= y1+1， |DF|= y2+1

則|AB|·|CD|=（|AF|-1）（|DF|-1）=（y1+1-1）（y2+1-1）=y1y2

又由y=kx+1x2=4yy2-（2+4k2）y+1=0y1y2=1

點(diǎn)評(píng)本題若用直線方程的點(diǎn)斜式與拋物線方程聯(lián)立求出A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線方程和圓的方程聯(lián)立，求出B、C的坐標(biāo)實(shí)施運(yùn)算，不僅繁瑣而且容易迷失解題方向.此處巧用拋物線的準(zhǔn)線，將|AF|的長(zhǎng)度表示為 y1+1，|DF|的長(zhǎng)度表示為 y2+1，使問(wèn)題輕松獲解.當(dāng)然，做為一個(gè)填空題，我們也可以小題小做，取過(guò)點(diǎn)F的直線y=1，分別求出A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可.

例3已知直線y=k（x+2）（k>0）與拋物線C∶y2=8x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k=（）

A13B23C23D223

解法一將y=k（x+2）代入y2=8x得k2x2+（4k2-8）x+4k2=0

設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xA，xB，則xA+xB=8k2-4，① xA·xB=4

又∵|FA|=xA+2，|FB|=xB+2， |FA|=2|FB|，

∴2xB+4=xA+2∴xA=2xB+2②

將②代入①得xB=83k2-2，

xA=163k2-4+2=163k2-2

故xA·xB==4

解得k2=89，而k>0，∴k=223，則滿足Δ>0故選D

解法二設(shè)拋物線C∶y2=8x的準(zhǔn)線為l∶x=-2直線 y=k（x+2）（k>0）恒過(guò)定點(diǎn)P（-2，0） 如圖3過(guò)A、B分別AM⊥l于M，BN⊥l于N， 由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)連結(jié)OB，則|OB|=12|AF|， ∴|OB|=|BF|點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1， 故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，22）∴k=22-01-（-2）=223， 故答案選D

點(diǎn)評(píng)顯然第二種解法的運(yùn)算量要小的多，關(guān)鍵還是拋物線的準(zhǔn)線解題“給力”，通過(guò)拋物線的定義，

借助準(zhǔn)線把|FA|=2|FB|過(guò)渡到|OB|=12|AF|，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)求出k值，可謂巧矣.

嘗試練習(xí)

已知點(diǎn)C為y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)F為焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B為拋物線上兩個(gè)點(diǎn)，若FA+FB+2FC=0，則向量FA與FB的夾角為

解答提示∵FA+FB+2FC=0，

∴FA+FB=2CF

∵點(diǎn)C為y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，由向量的加法法則及拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)A，B為拋物線上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)且作出圖形如圖4所示，其中AD為點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，四邊形AFBG為菱形，

∴|FE|=|FC|=p

∴|AF|=|AD|=2p

∴∠AFE=π3

∴∠AFB=2π3

∴向量FA與FB的夾角為2π3