高考應用題備考建議

鄭榮坤

[摘要]數學應用能力，一直是學生尤其是高中生所應當具備的。隨著“新課標的實施以及高考改革”，數學應用能力愈發重要。而數學應用題是考查數學應用能力的一種主要形式，雖然高考卷數學應用題的難度適中，卻使許多考生捉襟見肘。高考數學不僅要結合教材，把握精髓，回歸教材理念，同時還應舉一反三，跳出教材，充分利用教材知識，全面提高學生的解題能力。

[關鍵詞]高考；應用題；分析；教材

高考數學應用題的命制始終遵循以教材中的數學知識為基礎，進行構建、重組和創新。教師提升“回歸教材”“跳出教材”的認識層次，讓教材中習題的基礎性、典型性和示范性得到落實，才能達到高效的復習效果。

一、回歸教材

關注全國各地高考、摸擬試題，了解高考信息，刷高考摸擬試題，強化數學應試能力和技巧。大部分學生在備考過程中，盲目刷題，置教材（本文所指的教材都是新課標人教A版）于不顧。殊不知，教材是高考命題的依據，不管高考題如何靈活多變，它都源于教材。因此筆者常告誡學生：“萬變不離其宗，勿忘其本”。

1.高考應用題源于教材

縱觀歷年各地高考卷的應用題，總能在試題中找到教材例題、習題的影子，有些試題來源于教材例題、習題的改編。

如2016年全國高考卷（Ⅰ）第16題：某家高科技型企業在生產A和B兩種產品時需要甲、乙兩種原材料。假如生產一件A產品，那么需甲材料共為1.5kg，乙材料為1kg，需耗費5小時；假如生產一件B產品，則需甲材料共為0.5kg，乙材料為0.3kg，需耗費3小時。經計算得知生產一件A產品的利潤是2100元，而生產一件B產品利潤則是900元。現此企業有甲材料共計150kg，乙材料共計90kg，那么在不得超過600工時的前提下，該企業生產A、B產品的利潤總和最大值為（ ）元。

教材中的應用題：一工廠采用A、B兩種配件用來生產甲、乙兩種產品，已知每生產一件甲產品將耗用A配件4個，同時耗費一個工時；而若每生產一件乙產品則將耗用B配件4個，同時耗費2個工時。該工廠每天最多能夠從配件廠獲得A、B兩種配件總數為16個和12個，如果按每天工作8小時計算，那么該廠所有可能的生產安排是什么？如果每生產一件甲產品將會獲利2萬元，而每生產一件乙產品將會獲利3萬元，那么采用何種生產安排獲取的利潤最大？

這兩題都是線性規劃模型的應用題，都是工廠如何安排生產，可獲得利潤最大的應用題。對比發現兩題同出一門，由此可見，教材是高考命題之本，高考應用題的備考必須“立足教材”。

2.有效備考教材中應用題

教材中的應用題凝聚了專家們的心血，無疑是精選之題。如果教師簡單地講解教材中應用題，教學課堂必然枯燥無味。此時此刻師生互動，寓教于樂，課堂氣氛自然活躍。

下面案例說明如何有效備考教材中應用題（必修5《等差數列》活期存款問題）：

教師：“我有一個鄰居叫小明，他今年春節收了1000元壓歲錢。如果把這1000元按活期存入銀行，那么第20年末的本利和為多少元？”

設計意圖：講故事呈現教材中的應用題，把問題換成學生身邊的實際問題，貼近學生的生活，激發學生解決問題的熱情。

教師：我國當今的儲蓄制度明確規定：銀行以單利計算支付存款所得利息，依照單利的特定公式：本利和=本金×（1+利率×存期），如果以活期存入金額1000元，年利率為0.5%。

教師：依照單利公式計算，請列表說明到5年末的本利和金額？

設計意圖：教學生如何審應用題、分析應用題，通過列表弄清題意，分清條件和結論，理順應用題中的數量關系。

學生：那么按照單利，5年末的本利和分別是：

5年內各年末的本利和（單位：元）組成了數列：1005、1010、1015、1020、1025。

教師：這5個數組成的數列有什么特點？

設計意圖：分析應用題中的數量關系，從而初步確定數學模型。

學生：第2項起，每一項與它的前一項的差等于5（同一個常數）。

教師：借助計算機excel軟件，如何求出第20年末的本利和？

設計意圖：現代信息技術在數學中的應用，借助現代信息技術求模。

教師：在沒有計算機軟件的條件下，如何求出第20年末的本利和？

設計意圖：現代信息技術與傳統計算方法的有機結合，探究傳統求模方法。

以上便是解決應用題的有效模式——“審題”“建模”“求模”，只要掌握好解題模式，教材中應用題自然迎刃而解。

二、跳出教材

教材例題、習題多數具有可變性和可研究性，如果僅就題論題，無疑會浪費寶貴的課程資源。高考命題的原則之一是源于教材而高于教材，這就要求我們要跳出教材，以教材中的多個例題、習題為原型，巧妙改編，形成有一定綜合性的試題。改編例題、習題可以從如下兩方面著手：

1.把教材中的例題、習題改編為應用題

教材中的例題、習題，大部分為數學化問題，只考查學生運用相應知識解決問題的能力，未能培養學生的數學閱讀能力、思維抽象化能力和數學建模能力。由于數學很多時候來源于生活，又服務于生活，所以大部分教材中的例題、習題都可以巧妙改編，服務于應用題教學。

下面是筆者對教材中例題的改編案例：

2.對教材中的應用題進行改編拓展

教材中應用題雖然都是編寫者精心設計而成，由于受篇幅與精華性等各個因素的影響，學生有時并不認同它們在現實生活中可能會出現這一“事實”。雖然一些應用題的確具備現實背景，但在學生們眼中依然是“冰冷”的，是不具備“人文氣息”的。教材中的很多應用題服務于它們所在章節，所考查的知識面較狹隘，為了較好服務于高考備考，可以對它們進行改編拓展。

下面是筆者對教材中應用題的改編案例：

教材中的應用題：體育場的某一角看臺座位排列布局如下：第一排為15個座位，自第二排開始每一排均比前一排多出2個座位。你能用 表示第n排的座位數嗎？第10排能坐多少個人？

改編1：小明同學去電影院看電影，發現電影院的座位為如下排列：第一排只設15個座位，自第二排開始每一排均比前排多2個座位。

（1）小明買的電影票是第10排，這一排能坐多少人？

（2）小明買的電影票是第n排，這一排能坐多少人？

（3）如果電影院共有20排，這個電影院最多能坐多少人？

改編2：小明同學去電影院看電影，發現電影院的座位為如下排列：自第二排開始每一排都比前排多的座位數相同，第三排只有12個座位，第八排有32個座位。

（1）若小明所坐的這一排有120個座位，請問這是第幾排？

（2）如果電影院共有30排，這個電影院最多能坐多少人？

事實上，縱觀歷年全國各地高考應用題，都與教材有著千絲萬縷的聯系，所以筆者提出備考建議：回歸教材，跳出教材。教師在備考過程中，要充分挖掘，巧妙加工教材中的例題、習題；同時也要引導學生利用例題、習題進行自主或合作探究，才能更好地激發學生的備考熱情。

參考文獻：

[1]羅亮，彭軒娣.熟悉課本，輕松應對廣東高考[J].中學數學研究，2011，（03）.

[2]江華.立足課本 對接高考——以課標卷為例分析高考題源[J].教學考試，2015，（06）.

（責任編輯 史玉英）