基于改進型有限控制集模型預測的永磁電機直接轉矩控制

陳令榮，李 強，儲建華

（1．江蘇省徐州技師學院，徐州221151；2．東南大學，南京210096）

0 引 言

近年來，永磁同步電機（以下簡稱PMSM）在電力傳動系統，尤其是電動汽車中使用廣泛，主要是因為其具有較大的能量密度和較高的效率［1－3］。在PMSM驅動系統中，為了獲取更快的轉矩響應，多采用直接轉矩控制（以下簡稱DTC），它不同于磁場定向控制的地方在于沒有電流閉環，所以響應更快。傳統的DTC控制策略是基于2個非線性滯環調節器和開關狀態表實現的，因此導致了開關頻率不固定和轉矩脈動的問題［4－6］。

為了減少電流紋波和轉矩脈動，文獻［7－8］提出了一種結合空間矢量脈寬調制（以下簡稱SVPWM）和DTC的控制策略，控制中引入了PI轉矩閉環來計算電壓參考，進而通過SVPWM生成固定開關頻率的脈沖，進而減小電流和轉矩脈動，但是PI控制器的引入降低了DTC控制的響應速度。與此同時，隨著預測控制技術和數字芯片的發展，高性能轉矩控制策略得以實現，例如轉矩預測控制和模型預測控制［9－13］。其中轉矩預測控制根據PMSM模型和需要的轉矩，用預測的方法計算定子電壓參考［9－10］，結合使用SVPWM 得到固定的開關頻率，進而降低轉矩脈動，但是其難以考慮系統約束，例如電流限制等。文獻［14－16］提出了一種無差拍DTC控制策略，兼顧了較快的響應速度和較低的轉矩脈動，但是計算復雜度高，難以低成本工程應用。而有限控制集模型預測控制（以下簡稱FCSMPC）由于使用了由開關矢量構成的有限控制集，同時還構建了考慮系統約束的成本函數，故通過窮舉法可以得到使成本函數計算值最優的開關矢量。該方法的一個主要優點是通過構建成本函數，可以考慮不同系統約束下提高控制性能［17］。因此，FCSMPC可以實現DTC和特殊控制目標結合，例如最大轉矩電流比（以下簡稱 MTPA）［18－19］。但是 FCSMPC也存在DTC控制固有的問題，即不固定的開關頻率將導致較大的轉矩脈動。為此，文獻［20］提出了一種基于FCSMPC的轉矩脈動補償方案，但是其出發點是基于電機模型精細化，沒有考慮由變頻器導致的轉矩脈動。

本文基于上述研究，設計了一種基于改進型有限控制集模型預測的PMSM直接轉矩控制策略，控制方案中引入了最優占空比的概念，同時考慮了MTPA。新型控制策略結合了FCSMPC和李亞普洛夫理論，構建了同時兼顧轉矩跟蹤，MTPA和其他系統約束的成本函數。同時還采用了李亞普洛夫函數來計算有限控制集中的電壓矢量占空比。最后，搭建了PMSM驅動試驗平臺，對新型FCSMPC控制策略的有效性進行了試驗驗證。

1 d－q坐標系下的PMSM模型

改進FCSMPC的DTC控制是基于同步旋轉d－q坐標設計的，其中PMSM在d－q坐標系下的模型［12］：

式中：R，Ld，Lq和ψf分別為定子電阻，d，q軸定子電感和電機永磁磁鏈；p是電機極對數；ud和uq分別為d，q軸定子電壓；id和iq分別為d，q軸定子電流；ω為電角頻率。使用前向歐拉算法離散后的PMSM模型：

式中：T為一個較小的時間間隔，其小于或等于采樣時間；k為當前步長。PMSM的輸入電壓由驅動變頻器給出，udq，k＝［ud，k，uq，k］T。對于兩電平變頻器，其輸出開關矢量一共有8種不同的開關狀態組合，即｛（Sa，Sb，Sc）｜Sa，b，c∈｛0，1｝｝，其中Sa，Sb和Sc分別為ABC三相的開關狀態。根據文獻［21］和等幅值Par k變換，變頻器輸出電壓矢量在d－q坐標系下的方程：

8個開關狀態000，001，…，111將生成8個電壓矢量，故但考慮到開關狀態000和111將生成相同的電壓矢量，故最后用于控制的有限控制集為｛｜j＝1，2，…，7｝。

2 基于改進FCSMPC的直接轉矩控制

為了最大限度地減少電流紋波和轉矩脈動，基于李亞普洛夫在設計了改進型FCSMPC直接轉矩控制控器，具體的控制器框圖如圖1所示。從圖1中可以看出，控制器中包含了單步長電流賦值算法、基于李亞普洛夫的占空比計算和成本函數計算等。

圖1 基于改進FCSMPC的直接轉矩控制框圖

1． 1單步長賦值算法

在數字處理器中，由于參考電壓矢量的計算需要時間，所以計算得到的參考電壓不能及時實施，需要延遲到下一個采樣周期，具體的延時示意圖如圖2（a）所示。其中下標k代表了當前采樣，tc為參考電壓的計算耗時，xk為當前采樣值（電流或轉矩），是基于xk計算而來的。由于計算耗時，將在下一個采樣間隔k＋1實施。在這種情況下，將不再是采樣間隔k＋1的最優參考電壓，這是引起轉矩脈動的部分原因［22］。

為了減少數字處理器采樣延遲導致的轉矩脈動，設計了單步長賦值算法，具體示意圖如圖2（b）所示。圖中tc1代表了變量賦值時間，基于測量得到的xk和PMSM模型，可以得到第k＋1個采樣周期的狀態。然后基于更新狀態，用預測控制器計算后，在tc2時刻得到最優參考電壓，進而在第k＋1個采樣周期能夠及時的實施，即實施最優的參考電壓。單步長賦值算法的執行方程：

圖2 數字處理器延遲原理

上式 中 電 流id，k＋1和iq，k＋1將 用 于 預 測 計 算，電 壓和在上一個步長得到。而估計轉矩可以由式（3）計算得到。

1． 2 FCSMPC的成本函數構建

為了實現MTPA條件下的轉矩控制，構建了一個考慮轉矩跟蹤、MTPA和電流限制的成本函數，具體方程描述如下：

式中：Np為模型預測的預測尺度，由于FCSMPC算法基于窮舉所有的電壓矢量，故計算量是隨著Np成倍增加的。為了保證計算的實時性，通常選擇Np為1。上式中kT，kA和kL為成本函數的加權系數，而JT（k）和JA（k）具體如下：

在考慮PMSM 的電流限制后，JL1（k）和JL2（k）的表達式：

式中：Ir是PMSM的額定電流。JL1（k）為考慮電機發熱的電流限制，JL2（k）是確保在MTPA條件下d軸電流收斂。通過構建成本函數，MTPA條件下的轉矩控制轉換為成本函數的最小化。在成本函數中，一般kL一般遠大于kT和kA，以防止PMSM過電流和保證id≤0。對于kT和kA的選擇，可考慮kT＋kA＝1，較大的kT將導致快速的轉矩收斂，而較大的kA將使得MTPA條件快速達到。本文中設計kT＞kA，以獲取更快的轉矩響應。

1． 3基于李亞普洛夫函數的占空比計算

為了進一步降低轉矩脈動，引入了李亞普洛夫函數對每個電壓矢量的占空比進行計算。由于JL1和JL2只是限制條件，并不是全局可微的，故在基于李亞普洛夫函數的占空比計算中不考慮。具體的李亞普洛夫函數設計：

當滿足V（k）＝0時，第k個采樣周期的轉矩，同時MTPA條件可以達到。此外，當滿足d V（k）／d t＝0時，轉矩和磁鏈將在MTPA工作點穩定，進而電流紋波和轉矩脈動可以最小化。首先闡述下面3個結論：

（1）結論1：定義電流函數如下：

如果PMSM的轉矩保持一個非零值，則f（id，iq）是沿恒定轉矩曲線嚴格單調的函數。證明如下：

轉矩Te＝1．5p［ψf＋（Ld－Lq）id］iq為常數，對f（id，iq）和Te求偏導數如下：

恒定轉矩下，工作點沿著矢量r方向的軌跡滿足r Te／idq＝0，矢量r的表達式：

式中：ε為正實數，可以注意到：

由于Ld－Lq≤0和id≤0，式（19）中等號右邊項為負，因此f（id，iq）是沿恒定轉矩曲線嚴格單調的函數。根據結論1，要保證李亞普洛夫函數嚴格遞減，可以控制工作點軌跡如下：首先沿著恒定轉矩曲線運行到f（id，iq）＝0，然后沿著 MTPA曲線運行到轉矩達到參考轉矩，如圖3所示，從A點到B點再到C點。因此，至少存在一條工作點軌跡曲線使得李亞普洛夫函數嚴格遞減。

圖3 滿足MTPA的工作點運行軌跡

（2）結論2：對于任意初始條件，如果PMSM的反電動勢在變頻器輸出電壓限制內，那么存在一個滿足d V（k＋1）／d t≤0。證明如下：

對李亞普洛夫函數求導，可得：

上式中等號當且僅當V（k＋1）＝0時成立，因此，存在電流微分d idq，k＋1／d t＝λΔd idq，k＋1使得V（k＋1）≤0，其中λ是一個非常小的正實數。電壓u＊dq，k滿足：

式中：idq，k＋1為電流矢量。由于至少存在一條工作點軌跡曲線使得李亞普洛夫函數嚴格遞減，則存在Δidq，k＋1滿足：

當uE在變頻器電壓限制范圍內，λ可以設置為足夠小來保證u＊dq，k＋1也在限制范圍內，既滿足d V（k＋1）／d t≤0。

（3）結論3：對于給定的電流動態：

如果PMSM的反電動勢在變頻器輸出電壓限制內，那么存在ujdq，k∈｛ujdq，k｜j＝1，2，…，7｝滿足：

結論3的具體證明過程參考文獻［23］。為了盡量減少穩態時的轉矩脈動，期望李亞普洛夫函數穩態時保持V＝0和d V／d t＝0，為此電壓矢量ujdq，k的占空比計算式：其中Tσ＜＜Ts為一常值，當電流達到上限時，占空比設置為Tσ，此時電流限制JL在成本函數中占主導。FCSMPC中還需考慮電壓矢量Vj（k＋1）滿足d Vj（k＋1）／d t≤0。當PMSM 的模型和相關預測是準確的，那么Tσ＝0是保證最小電流紋波的理想設置。但是實際系統中總是有一些諸如電機參數偏移之類的擾動，因此需要根據擾動來選擇一個較小的Tσ，本文中選取Tσ＝0．1Ts以獲取較高的抗擾度，實際工程中可以適當減小。

占空比計算結果Tj限制在［0，Ts］，根據結論3，在第k＋1個采樣周期至少存在一個ujdq，k＋1（占空比為Tjduty，k＋1），在不考慮電流限制的情況下能保證李亞普洛夫函數V（k＋2）＝J（k＋2）收斂到0。另一方面，基于式（25）計算的占空比Tjduty，k＋1能保證穩態d V／d t＝0。因此，所有使d Vj（k＋1）／d t＜0的電壓矢量都是成本函數最小化的候選矢量。故計算占空比之后，實際的有限控制集為｛（ujdq，k＋1，Tjduty，k＋1）｜j＝1，2，…，7｝。

1． 4 FCSMPC的具體實施

為了實現固定采樣頻率和固定開關頻率，定義一個補充電壓矢量如下：

補充電壓矢量的使用將使d idq，k＋1／d t＝0，進而使成本函數計算結果不變。最終實施的電壓矢量：

式（27）中只有作用到 PMSM 能對轉矩產生影響，即保證收斂和MTPA實現，后續作用使d V／d t＝0。作用后，在第k＋2個采樣周期的預測電流：

根據預測電流，基于成本函數計算在有限控制集中選取最優電壓矢量：

最后的輸出電壓參考：

從上式中可以看出，暫態中設置最優占空比等于Ts能最小化成本函數。因此，在同樣的采樣頻率下，新型策略策略的轉矩響應和傳統FCSMPC一樣快。同時結論3保證了所提出的控制方案的穩定性。另一方面，穩態時補充電壓矢量將保持d V／d t＝0。因此，電流紋波和轉矩脈動可以最小化。

3 試驗驗證

為了驗證所提出控制策略的實際可行性和效果，搭建了PMSM驅動試驗平臺開展了試驗研究，試驗平臺如圖4所示。PMSM的參數以及試驗平臺的主要參數如表1所示。核心算法基于實時仿真系統d SPACE（DS1103）實現，試驗中控制轉速在300 r／min。同時進行了新型控制策略和傳統FCSMPC控制方案的對比試驗，以檢驗其有效性。

圖4 試驗平臺結構示意圖

表1 PMSM參數和系統系統主要參數

圖5和圖6分別為傳統FCSMPC控制方案和改進FCSMPC控制方案的試驗波形。從圖中可以看出，2種控制策略下的轉矩響應暫態過程是近似的，但是在同樣的開關頻率下，改進型控制策略的轉矩脈動明顯減小。這個結論還可以從如圖7所示的電流和轉矩頻譜分析圖中更加準確地得到。

圖5 傳統FCSMPC控制方案的試驗波形

圖6 改進FCSMPC控制方案的試驗波形

圖7 2種控制方案的電流和轉矩頻譜分析

為了驗證控制策略對電機參數誤差的魯棒性，將控制器中參數Lq設置為1．5倍Lq和參數ψf設置為1．3倍ψf，并分別進行了2組對比試驗。其中圖8和圖9分別為傳統FCSMPC控制方案和改進FCSMPC控制方案在參數Lq擾動下的試驗波形；圖10和圖11分別為傳統FCSMPC控制方案和改進FCSMPC控制方案在參數ψf擾動下的試驗波形。從Lq參數擾動試驗結果來看，Lq參數誤差對2種控制方案的影響很小，擾動并沒有改變控制器的工作點，轉矩仍較為穩定地跟蹤參考值，可以注意到傳統FCSMPC控制方案的轉矩脈動依然較大。從ψf參數擾動試驗結果來看，它對控制的影響大于Lq參數擾動，這使得兩種控制方案下的轉矩偏離參考值，即存在一個轉矩跟蹤穩態誤差，對比新型控制和傳統FCSMPC控制，可以看出新型控制策略的誤差更小，因而魯棒性更好。因為ψf參數擾動導致了傳統FCSMPC控制下的較大工作點偏移，從而選取的開關矢量不是最優的開關矢量，進而控制性能不佳。

圖8 傳統FCSMPC控制在參數L q誤差下的試驗波形

圖9 改進FCSMPC控制在參數L q誤差下的試驗波形

圖10 傳統FCSMPC控制在參數ψf誤差下的試驗波形

圖11 改進FCSMPC控制在參數ψf誤差下的試驗波形

4 結 語

本文提出了一種用于PMSM驅動系統的基于李亞普諾夫函數的FCSMPC控制策略。通過理論研究和試驗驗證，現總結結論如下：

（1）改進型FCSMPC控制策略使用了基于李亞普諾夫函數的占空比計算方案和綜合考慮MTPA和電流限制的成本函數，實現了固定開關頻率和電流紋波最小化。

（2）對比傳統的FCSMPC控制策略，新型控制方案的轉矩脈動明顯降低，同時參數擾動試驗驗證了新型控制方案的魯棒性更好。

（3）后續的研究方向：考慮增加基于卡爾曼濾波或自適應觀測器的模型誤差補償，以進一步提高該控制策略的魯棒性。

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