貸款定價的基本模型

張志強

一、貸款定價問題的理解

常有人認為，利率市場化就是銀行隨行就市確定貸款的利率。筆者認為，這樣的理解并不完全正確。發(fā)放貸款不同于在市場上買賣一般的商品。在市場上出售一般的商品比較簡單，所謂隨行就市也就是參照別人的售價，自己也定個差不多的價格就可以了。但是，貸款發(fā)放的情況就不同了。銀行在決定一筆貸款的利率時，不能僅僅依照市場上其他銀行的定價，就據此定價。這是因為，一是其他銀行的定價可能差異很大，沒有統(tǒng)一標準；二是難以弄清楚其他銀行定價差異的原因，因為貸款定價的重點也是難點是確定對貸款的風險補償。

理論上講，即便是同一家銀行對同一家企業(yè)的貸款，第一筆和第二筆貸款的風險也是不一樣的，這就意味著第一筆和第二筆貸款應該定不同的價格。實踐中銀行家也許可以意識到，一般情況下（如第一筆貸款利率合理），第二筆貸款應該比第一筆貸款利率高，因為企業(yè)的負債率會隨著貸款的發(fā)放而增加，而企業(yè)的負債率是影響銀行風險的重要因素。那么，究竟應該高多少呢？市場無法提供一個基本準確的數字答案，銀行家的經驗或主觀判斷也無法提供一個基本準確的數字答案。

貸款定價即貸款利率如何確定的問題，是一個典型的金融問題。銀行貸款定價的目的是合理回避和補償風險，同時又在競爭中不損失客戶和機會，從而最大限度地獲得經營收益。對于這樣的問題，首先應該通過金融理論研究，得出利率取決于哪些重要或基本因素，與這些因素的定量關系是什么，即得出利率決定的理論模型；然后，探討這種考慮基本因素的理論模型如何在實踐中應用。本文下面就致力于探討利率決定的理論模型，拋磚引玉，以期給讀者以參考和啟迪。

二、貸款的風險與貸款利率的構成

筆者認為，學術的專業(yè)體現在用最少的而不是最多的變量和數據以及最簡潔而不是最復雜的方式解決問題。當然，作為定量科學，金融研究肯定需要數據，但不是靠數據解決問題；而是在有了理論模型的基礎上（問題得到解決后），需要代入有關基礎變量的數據得到結果（如貸款的利率）。究竟需要哪些基礎變量數據，這些數據與結果之間是什么定量關系，這些問題都需要金融理論研究基于專業(yè)邏輯而不是靠統(tǒng)計數據來解決。

貸款定價是一個典型的金融問題，那么我們就按照金融的專業(yè)邏輯來探討。根據上述分析，首先應該對銀行貸款的風險進行深入的探討。

銀行發(fā)放貸款會面臨風險。傳統(tǒng)上認為銀行貸款面臨多種風險，主要包括通貨膨脹風險、流動性風險、貸款期限風險以及違約風險。本文先不探討這些風險的定義，而是先梳理有關的金融邏輯。以貸款定價問題為導向，首先值得考慮的是，一筆貸款發(fā)放前后，銀行會關心和擔心什么？或者，對于所發(fā)放的一筆貸款，銀行應該或可以有哪些合理的要求？

籠統(tǒng)地說，銀行的要求包括如期收回本金和利息，這也是銀行關心和擔心的事情。能否如期如數地收回本金和利息并不確定，這就是銀行所冒的風險。可以理解，這些風險需要通過確定的利息（利率）得以補償。銀行收回本金要求的合理性不說自明。需要考慮的是，銀行收回利息的要求在什么范圍內是合理的呢？

首先，即便貸款沒有風險，將錢貸給企業(yè)用，也理所應當收取利息。但就合理性而言，銀行不冒風險，也就只能按無風險利率收取利息。這部分利息是對銀行資金的純時間補償，也就是對銀行資金失去流動性的補償。需要說明的是，在未來貸款持續(xù)時間中有可能發(fā)生通貨膨脹，這意味著貨幣會貶值，這顯然不利于作為債權人的銀行，為此銀行應該要求無風險利率中包含有對預期通貨膨脹的補償。所以，貸款利率中應該有一部分是無風險利率，其中包含了對通貨膨脹和流動性風險的補償。

其次，現實中的貸款當然都是有風險的，這意味著在無風險利率的基礎上，貸款利率中還應該包含風險的補償。與無風險的貸款相比，普通銀行貸款有什么風險呢？雖然現實中命名了多種風險，但其實只有一種風險，即不能如期收回本息的風險，也就是違約風險。那么，期限風險就不考慮了嗎？期限風險意味著貸款期限越長，違約風險越大。所以，期限風險只是違約風險的一個因素而已。

綜上所述，貸款利率應該由無風險利率和違約風險補償率兩部分組成。這就意味著要正確確定貸款利率，就要分別正確確定無風險利率和違約風險補償率。無風險利率可根據同樣期限的政府債券期望收益率確定，這在金融領域是已經解決的問題。所以，需要探討解決的問題就是如何確定違約風險補償率。

三、違約風險成本與貸款利率——ZZ利率模型

金融是研究資產價值的學科，根據資產的價值得出決策結論。金融的常規(guī)計算是根據未來收益計算資產的價值。與收益對應的是風險，收益可以帶來價值的增加，風險則會帶來價值的減少。所以，金融也需要計算風險的價值，實際是風險帶來的負價值，或可稱為風險成本。不僅如此，金融有時候還需要做價值的逆運算，即根據資產或風險的價值得出未來各期的應得收益或需要補償的成本。

明白了金融科學上述的基本定量功能，也就可以理解，如果能計算出貸款違約風險的成本，就可以通過將其分解得到各年的應得利息，再除以本金即得各年的違約風險補償率。當然，這個思路成功的關鍵是能否計算出貸款違約風險的成本。在金融領域，除了有錢不還的道德原因導致的違約，違約與破產幾乎是等同的概念。也就是說獲得貸款的企業(yè)之所以會違約，是因為企業(yè)確實因經營不善而資不抵債從而無力償還貸款本息。所以，違約風險的成本也可稱為破產風險的成本，或簡稱破產成本。

破產成本在金融領域是一個長盛不衰的研究熱點。1958年Modigliani和Miller推導建立了關于資本結構的MM模型I1Modigliani, F. and M. H. Miller, 1958, “The cost of capital, corporation fi nance and the theory of investment”, American Economic Review 48, 261-297.，點燃了金融學者解決最優(yōu)資本結構問題的熱情。由于破產成本是攻克最優(yōu)資本結構問題的一個關鍵點，50多年來，一直有學者對此進行研究。2009年，張志強更正了概念理解的錯誤，利用期權定價方法推導建立了破產成本模型2Zhiqiang Zhang, Determining the optimal capital structure based on revised def i nitions of tax shield and bankruptcy cost, Frontiers of Business Research in China, 2009, 3(1), 120-144.，解決了破產成本的計量問題，并進一步推導出最優(yōu)資本結構模型。

所以，可以基于ZZ破產成本模型來推導貸款風險補償率，該模型形式如下：

式（1）中，BC 代表破產成本；S代表公司目前價值；X代表企業(yè)債務的本金，同時遵循研究慣例，假設它等于債務的現值；N (–d2)和N (–d1)分別代表標準正態(tài)分布中變量值取–d2和–d1時的累積概率。其中，d1和d2可分別按式（2）、（3）求得。

其中：T為企業(yè)債務的平均期限（年）；為公司價值的波動率，傳統(tǒng)行業(yè)的經驗值在20%-40%，高科技行業(yè)會更高些。

ZZ破產成本模型是針對企業(yè)負債融資研究破產成本的問題。貸款即是企業(yè)的債務，所以，可以（暫時）將企業(yè)債務與銀行貸款等同理解。

可以理解，有風險貸款的價值 = 無風險貸款的價值－破產成本。

在不考慮風險即無風險的情況下，貸款的當前價值為X；用c表示貸款的年風險補償率（不包含無風險利率），注意貸款到期時間為T，則有風險貸款的價值為Xe-cT。因此：

根據式（4）不難求得風險補償率c。即：

上式兩邊取自然對數，

定義公司的債務比率L = X/S，則S/X=1/L，從而，

其中，對照式（2）和（3），

式（6）即是基于ZZ破產成本模型推導的貸款風險補償率模型，區(qū)別于其他模型，可稱之為ZZ貸款風險補償率模型。在此基礎上，不難寫出貸款利率模型，即：

根據式（7）、（8）和（9），可以發(fā)現，貸款利率取決于無風險利率r、貸款期限T、公司價值波動率s以及公司貸款比率L四大因素。

我們可以通過典型數據測試一下這個利率模型的計算結果。例如，r = 4%，T = 5，= 26%。根據ZZ利率模型進行計算，當貸款作為公司負債占公司總價值的40%時，貸款利率精確到萬分之一為4.44%。當貸款占公司總價值的50%、60%、70%、80%、90%時，貸款利率分別為4.93%、5.59%、6.38%、7.26%、8.21%?？梢姡S著公司貸款即負債比率的增加，違約風險逐漸增大，貸款利率也呈加速度地增加。

但是需要注意的是，上述計算未必正確。這樣運用模型暗含了一個前提，即公司在獲得該筆貸款前，債務比率為0%。但在現實中，公司往往是在有一定負債甚至有很高負債的情況下再申請貸款，也就是說，新貸款將使公司債務比率由原來的某個百分比增加到一個更高的百分比。比如，如果這筆貸款使企業(yè)的債務比率由原來的40%、50%、60%、70%、80%再增加10%，則貸款利率分別為6.89%、8.87%、11.10%、13.44%、15.78%。對照前面計算的5個百分比，顯然，貸款利率大幅度提高了；而且貸款利率隨負債率而加速度增加的程度也提高了。

由此可見，在模型正確的前提下，還需要對模型和現實的理解正確，對模型的應用正確，這樣才會得到正確的計算結果。

四、ZZ模型與莫頓模型的相互印證

由于目前學術研究中“用數據說話”的盛行，許多學者通過某種方式得到金融模型后，往往習慣于用數據來“驗證”，以表明自己模型的可靠。筆者認為，并非所有的模型都需要用數據來驗證。這是因為，一是不同的“數據”之間會有矛盾，現實中的數據浩如煙海，究竟符合哪套數據的模型算是正確的呢？二是數據中既包含正確、也包含錯誤，既有陰錯陽差，也有歪打正著。那么，什么模型需要靠數據來證明是正確的呢？不妨看一個模型，平均速度=距離/時間，這樣的模型當然不需要數據驗證，因為它有清晰嚴謹的邏輯支撐。相反，如果某套數據不符合這個模型，那一定說明數據（記錄）有問題。這也就是說，嚴格符合邏輯的模型其實可以用來檢驗現實數據的合理性，而不是相反。

邏輯其實就是一種嚴格表達的道理。邏輯與數據的一個不同是，邏輯可以跨越時間和空間而保持有效。所以，在金融研究中，真正徹底的證明是兩個符合邏輯的不同思路或方法得到同樣的結論或模型。ZZ破產成本是基于嚴格邏輯推導出來的，從模型的形式到模型中包含的變量都是客觀邏輯推導的結果，不受作者主觀偏好的影響。同樣，推導ZZ利率模型也是一個嚴格的邏輯過程，模型形式和變量都不是筆者主觀選擇的。在推理到最后一步之前，筆者也不知道利率模型的形式以及其中包含哪些變量。

在獨立推導出ZZ利率模型之后，在搜索以往研究成果時，筆者發(fā)現，1974年，Merton同樣運用嚴格的邏輯推導出了貸款風險補償率模型3Merton, Robert C., On the Pricing of Corporate Debt: the Risk Structure of Interest Rates, Journal of Finance, 1974, 29: 449-470.，雖然思路和推理過程不同，但最后得到的模型形式和變量與ZZ貸款風險補償率模型完全相同（只是各變量所用的符號不同）。Merton的貸款風險補償率模型如下：

其中，R(t)為債券收益率，即銀行貸款利率；r為無風險利率；t為債券（貸款）到期年限；ln{}為對數函數；Φ[]為標準正態(tài)分布的累積概率函數；h1(d,2t)和h2(d,2t)取值如下：

顯然，按照Merton的利率模型，合理的利率取決于無風險利率r、貸款（貸款）年限t、公司風險即價值波動率以及公司負債率d，共4個變量。這與ZZ利率模型完全一致；同時，模型形式也是完全一致。相信讀者自己可以辨認清楚。

當然，本文并不是重復Merton的研究，只是殊途同歸，得到了與Merton一樣的模型。先不說作為客觀邏輯推理，不推導到最后其實不可能知道與Merton模型完全一致。但說Merton當年的推導，其過程要復雜難懂得多，可以說金融領域至今真正能看懂的人不在多數。事隔40年，本文經由不同的邏輯過程，基于ZZ破產成本模型，簡單輕松推導出同樣的模型。這有兩個直接意義：其一，如上所述，它使Merton模型40年來第一次有了邏輯印證，從而可以堅定人們對Merton模型的信心；其二，金融領域有更多的人可以理解或看懂模型的推導過程，從而也才會更好地掌握和應用模型。從前面簡單的計算演示中，讀者已經看到，對模型掌握和應用的好與差，會導致計算結果大不相同。

五、有待進一步研究的問題

至此，本文拿出了一個貸款定價的基本模型。由于與Merton模型相互印證，從而模型的正確性得到了進一步的證實。限于篇幅，本文不做進一步的探討，僅對有關問題做一些簡單說明。

一個自然的思路是，既然已經建立模型，模型的正確性也得到某種證實，那順理成章就應該探討模型的應用了。但并不是任何正確的模型都值得探討一下如何應用。比如，等同于常識的模型就不值得進一步探討如何應用。因為直接按照常識決策就可以了，當然，Merton模型或ZZ利率模型顯然不是常識。

那么，是不是正確的定量模型都值得探討一下如何應用呢？也不是。舉個例子，本文前面提到的Modigliani和Miller在1958發(fā)表的研究，后來被稱為MM模型I，這是有關資本結構研究的第一個清晰的定量模型，同樣也是經過嚴格邏輯推導建立的模型。模型的正確性也沒有問題，后來Modigliani和Miller都因此獲得諾貝爾經濟學獎。但這個模型就不值得探討如何應用。因為這個模型不是一個解決問題的模型，只是在解決問題的過程中的一個中間成果——當然是一個非常重要的成果。

所以，解決了相應決策問題的精確定量的模型才值得進行應用探討。自然，接下來的問題就是：Merton模型或ZZ模型解決了貸款定價問題嗎？

這看似是一個簡單的問題，其實并不容易回答。究竟什么樣的模型算是解決了問題，解決問題的標準是什么？在目前的金融領域，這種問題其實沒有清晰的答案。當然，這個問題也沒有難到無法回答的程度。我們有過很多次這方面的討論，也得出了判斷問題是否解決的標準。限于篇幅，這里不展開闡述了。根據我們的標準來判斷，答案是肯定的，也就是說，Merton模型或ZZ模型解決了貸款定價問題；從而，可以在這個模型的基礎上探討模型在銀行貸款實務中的應用了。