中考中的平行四邊形問題

郭璇

平行四邊形知識是中考的重點內容，縱觀近幾年的中考題，平行四邊形以其獨特的魅力占據了一席之地.該部分試題形式豐富，考查面廣，下面根據本章的知識點，列舉一些典型的中考題，與同學們分享.

考點1：平行四邊形的性質

例1 （2016·江蘇無錫）如圖1，已知平行四邊形OABC的頂點A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為 .

【分析】如圖2，當點B在x軸上時，對角線OB最短.由題意得∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，由平行四邊形的性質得出OA∥BC，OA=BC，∠AOD=∠CBE，由“AAS”可證明△AOD≌△CBE，得出OD=BE=1，繼而得出結果.

解：當點B在x軸上時，對角線OB最短，如圖2所示：直線x=1與x軸交于點D，直線x=4與x軸交于點E.根據題意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4.

∵四邊形ABCO是平行四邊形，

∴OA∥BC，OA=BC，

∴∠AOD=∠CBE，

在△AOD和△CBE中，

∴△AOD≌△CBE（AAS），

∴OD=BE=1，

∴OB=OE+BE=5.

【規律方法】平行四邊形的性質及應用：

1.平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心.

2.平行四邊形的每條對角線，把平行四邊形分成兩個全等的三角形，兩條對角線把平行四邊形分成四組全等的三角形.

3.解決平行四邊形中的線段和角相等的問題時，常利用其性質證明三角形全等.

考點2：平行四邊形的判定

例2 （2016·浙江舟山）如圖3，已知點E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點，根據以下思路可以證明四邊形EFGH是平行四邊形：

（1）如圖4，將圖3中的點C移動至與點E重合的位置，F、G、H仍是BC、CD、DA的中點，求證：四邊形CFGH是平行四邊形；

（2）如圖5，在邊長為1的小正方形組成的5×5網格中，點A、C、B都在格點上，在格點上畫出點D，使點C與BC、CD、DA的中點F、G、H組成正方形CFGH；

（3）在（2）的條件下求出正方形CFGH的邊長.

【分析】（1）連接BD，根據三角形的中位線的性質得到CH∥BD，CH=[12]BD，同理FG∥BD，FG=[12]BD，由平行四邊形的判定定理即可得到結論；

（2）根據三角形的中位線的性質和正方形的性質即可得到結果；

（3）根據勾股定理得到BD，由三角形的中位線的性質得到FG，于是得到結論.

【解答】（1）證明：如圖6，連接BD，

∵C、H是AB、DA的中點，

∴CH是△ABD的中位線，

∴CH∥BD，CH=[12]BD，

同理：FG∥BD，FG=[12]BD，

∴CH∥FG，CH=FG，

∴四邊形CFGH是平行四邊形；

（2）如圖7所示.

（3）解：如圖7，∵BD=[5]，

∴FG=[12]BD=[52]，

∴正方形CFGH的邊長是[52].

【規律方法】平行四邊形的判定思路：

1.若已知一組對邊平行，可以證明這組對邊相等，或另一組對邊平行.

2.若已知一組對邊相等，可以證明這組對邊平行或另一組對邊相等.

3.若已知條件與對角線有關，可以證明對角線互相平分.

考點3：平行四邊形中的折疊問題

例3 （2016·江蘇宿遷）如圖8，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE.若AB的長為2，則FM的長為（ ）.

A.2 B.[3] C.[2] D.1

【分析】根據翻折不變性，可得AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的長.

【解答】∵四邊形ABCD為正方形，AB=2，過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，

∴FB=AB=2，BM=1，

則在Rt△BMF中，

FM=[BF2-BM2]=[22-12]=[3]， 故選B.

例4 （2016·湖北鄂州）如圖9，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，P是AB上一點，BP=3，Q是CD邊上一動點，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應點為A′，當CA′的長度最小時，CQ的長為（ ）.

A. 5 B. 7 C. 8 D. [132]

【分析】本題考查了菱形的性質、軸對稱（折疊）、等邊三角形的判定和性質、最值問題.由題意可知，△ABC為等邊三角形，過C作CH⊥AB，則CH=[32]AB=4[3]，AH=BH=4.利用勾股定理計算出CD=7，再根據折疊的性質得點A′在以P點為圓心、PA長為半徑的弧上，利用點和圓的位置關系得到當點A′在PC上時，CA′的值最小，然后證明CQ=CP即可.

【解答】解：如圖10，過C作CH⊥AB.

∵ABCD是菱形，∠B=60°，

∴△ABC為等邊三角形.∴CH=[32]AB=4[3]，AH=HB=4.

∵BP=3，∴HP=1.

在RT△CHP中，CP=[（43）2+12]=7.

∵梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應點為A′，∴點A′在以P點為圓心、PA為半徑的弧上，∴當點A′在PC上時CA′的值最小.

∴∠APQ=∠CPQ，

∵CD∥AB，

∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，

∴CQ=CP=7.

故正確答案為B.

【規律方法】本題作為選擇題，通過作圖得出答案是比較便捷的方法.弄清在什么情況下CA′的長度最小（相當于平移對稱軸）是解決本題的關鍵. 折疊問題的本質：軸對稱（全等性、對稱性）.解題關鍵：根據折疊實現等量轉化，可用勾股定理列式解決，或找折疊中的特殊位置來解決特殊值問題.

（作者單位：江蘇省揚州市田家炳實驗中學）