用整體思想巧算代數式的值

錢霞

整體思想就是在研究和解決有關數學問題時，通過把握研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，對問題進行整體處理的思想方法.從整體上去認識問題，思考問題，常常能化繁為簡，變難為易，同時又能培養大家思維的靈活性、敏捷性.整體思想在“整式乘法與因式分解”這一章中的主要體現形式有：整體代入、整體加減、整體代換等，下面我們就一起來看看吧.

例1 已知xy2=-1，求-xy（x3y7-3x2y5-y）的值.

【分析】本題根據條件顯然無法求出x、y的值，只能考慮在所求代數式中構造出xy2的形式.

解：原式=-（xy·x3y7-xy·3x2y5-xy·y）

=-（x4y8-3x3y6-xy2）

=-x4y8+3x3y6+xy2

=-（xy2）4+3（xy2）3+xy2.

當xy2=-1時，

原式=-（-1）4+3×（-1）3+（-1）

=-5.

【說明】本題在處理單項式與多項式相乘的時候，也可以將-xy看成一個單項式，用-xy與多項式的每一個項相乘，再把所得的積相加.

例2 若m+[1m]=3，則m2+[1m2]的值是（ ）.

A.7 B.11 C.9 D.1

【分析】本題根據條件雖然是可以求出m的值，但代入求值時非常麻煩.那么我們就想到了將m+[1m]看成一個整體.利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，則（m+[1m]）2=m2+2m×[1m]+[1m2]，此處m×[1m]=1，再將m+[1m]=3代入即可.

解：∵（m+[1m]）2=m2+2m×[1m]+[1m2]，

又∵m+[1m]=3，m×[1m]=1，

∴32=m2+2+[1m2]，

∴9=m2+2+[1m2]，

∴m2+[1m2]=7.故選A.

【說明】本題比較靈活，首先由m+[1m]=3，求m2+[1m2]的值，想到將m+[1m]=3的兩邊進行平方，套用完全平方公式；其次這里利用到了一個隱含條件m×[1m]=1.

例3 若a、b滿足（a+b）（a+b-2）+1=0，則a+b= .

【分析】本題可以考慮求出a、b的值，再代入計算a+b的值，但是我們發現只有一個方程，卻有兩個未知數，所以這里的a、b無法求出.經觀察，我們發現此處可以將a+b看成整體，轉化后等號的左邊正好是完全平方式.

解：將（a+b）看成整體，原方程可化為：

（a+b）[（a+b）-2]+1=0，

（a+b）2-2（a+b）+1=0，

（a+b-1）2=0，

a+b-1=0，

a+b=1.

【說明】本題的處理結果正好是完全平方公式，所以可以求出a+b的值.大家可以思考，如果等號的左邊不是完全平方式，你將怎樣求出a+b的值，思考好后，試著完成下面的變式訓練：若a-b=1，則求a2-b2-2b的值.

【分析】本題中由a-b=1，不能求得a、b的值，那么觀察所要求的代數式a2-b2-2b，可以變形為（a+b）（a-b）-2b=a+b-2b=a-b=1.

解：原式=（a+b）（a-b）-2b

=a+b-2b

=a-b

=1.

【說明】本題是整體代入，在無法求出a和b的值的情況下，應處理所求的代數式，利用平方差公式將其變形出a-b這一整體；本題也可以將a=b+1代入，即原式=（b+1）2-b2-2b=b2+2b+1-b2-2b=1.

例5 已知a+b=7，ab=6，求a2b+ab2的值.

【分析】本題首先想到的是根據a+b=7，ab=6，求出a、b的值，再代入代數式中求得結果；但是經過分析可將a2b+ab2因式分解為ab·（a+b），再將ab=6，a+b=7整體代入可以使問題的解決更簡單.

解：原式=ab（a+b），

當ab=6，a+b=7時，原式=42.

【說明】先將代數式因式分解，再通過整體代入是一種求代數式值的常用方法.

例6 將下列各式因式分解：

（1）（x2+1）2-10（x2+1）+25；

（2）16（x+4）2-9；

（3）a（a2-b2）-b（b2-a2）.

【分析】重溫一下概念，因式分解：把一個多項式寫成幾個整式積的形式叫做多項式的因式分解.而因式分解首先要考慮的是提公因式，其次考慮套用公式，最后要檢查因式分解是否徹底.對于（1）無公因式可提，將x2+1看成整體可先套用完全平方公式，之后再套用平方差公式；（2）無公因式可提，將（x+4）看成整體可套用平方差公式；（3）將其后面的因式b2-a2提取負號后可變為-（a2-b2），再提取公因式a2-b2，接著套用平方差公式.

解：（1）原式=（x2+1-5）2

=（x2-4）2

=[（x+2）（x-2）]2

=（x+2）2（x-2）2.

（2）原式=[4（x+4）2]-32

=（4x+16+3）（4x+16-3）

=（4x+19）（4x+13）.

（3）原式=a（a2-b2）+b（a2-b2）

=（a2-b2）（a+b）

=（a+b）（a-b）（a+b）

=（a+b）2（a-b）.

【說明】因式分解的步驟是：一提、二套、三查.我們解決因式分解的題型首先考慮的是提公因式，然后才考慮套用公式，并且一定要檢查最后的結果是否已經分解徹底.

整體思想在代數式的化簡與求值、解方程、幾何解證方面都有廣泛的應用，整體代入、整體運算、整體設元等都是整體思想方法在解數學問題中的具體應用，在以后的學習中大家要注意積累.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）