Banach空間中的完備集

吳森林+張新玲+計東海

摘要：針對Banach空間中完備集的相關問題， 回顧了完備集這一概念的來源：等寬集的一些基本性質， 介紹了完備集的一些性質以及與完備集相關的若干研究問題和相關結果。 結果表明， 圍繞Banach空間中的完備集及其相關問題還有很多待完成的工作。

關鍵詞：Banach空間； 等寬集； 完備集； 完備化集

DOI：10.15938/j.jhust.2017.02.016

中圖分類號： O177

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2017）02-0083-05

Abstract：For the related problems of complete sets in Banach spaces， some fundamental properties of sets of constant width which is the origin of the concept of complete sets are reviewed， and properties of complete sets and research problems and corresponding results related to complete sets are also presented. It is shown that there are much research to be done concerning complete sets and related problems in Banach spaces.

Keywords：Banach spaces； sets of constant width； complete sets； completion of sets

6完備化集與其他特殊凸集類的關系

設A是有限維Banach空間中的一個凸體， 若任何一個真包含于A的凸體的最小寬度均嚴格小于A的最小寬度（A的平行的支撐超平面之間距離的下確界）， 該凸體稱為不可縮的（reduced）。顯然的， 任意一個等寬集都是不可縮的。文[46]中聲稱有限維Banach空間中任何一個完備集均是不可縮的， 然而， Martini和吳森林已經給出一個反例說明該結論是不正確的（參見文[45]）。因此， 在有限維Banach空間乃至無窮維Banach空間中考慮不可縮凸集與完備集的關系十分有必要。關于

瘙 綆 n和有限維Banach空間中不可縮凸體的更多內容請參見文[46]和[47]以及這兩篇綜述文章中所列文獻。

7結語

盡管很多數學家在一般的實Banach空間特別是有限維實Banach空間中圍繞著完備集及其相關性質， 集合的完備化映射以及與完備集有關的若干問題已經做了一系列重要的工作， 但是關于完備集仍然有很多未解決的問題， 希望本文對完備集相關問題的介紹能讓更多的人關注并嘗試解決這些問題。

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（編輯：溫澤宇）