初中幾何證明題技巧分析

許文華

摘要：平面幾何是初中數學中的一項重要知識體系，同時也是初中數學中的重點和難點，特別是證明題，其解法更是重中之重。初中幾何教師在授課過程中應幫助學生理清證明題解題思路，總結解題技巧，讓學生充分掌握證明題解題技巧，從而提高學習成績。本文針對幾何證明題解題技巧進行了總結，為學生解題提供一定的參考建議。

關鍵詞：初中幾何；證明題；解題技巧

1引言

隨著中國基礎教育的改革，傳統課程中的平面幾何內容進行了修改及對學生邏輯證明水平的改變，引起了社會的關注。幾何證明能夠提高學生的推理能力，發展學生的空間想象能力及邏輯思維能力。幾何課程所培養的數學能力是其它課程無法取代的，而數學能力的提高幾何證明占有很重要的角色。然而學生在學習初中幾何證明時，還存在很多問題。本文就常見的初中幾何證明進行技巧分析。

2初中幾何證明題技巧分析

初中平面幾何主要是研究二維幾何圖形的一系列性質。最新的平面幾何教材中主要內容包括直線相交、直線平行、平行四邊形證明、三角形相似、及圓等知識。幾何課程內容在整個初中數學中所占比例為1/3，因此幾何是初中數學知識體系中的重要組成部分。幾何學習中對學生的思維能力、空間能力等要求較高，因此在學習過程中必須要熟練掌握相關概念、論證方法等，但初中生剛接觸幾何，再加上初中學生邏輯思維能力、表達能力還不嚴密，因此在學習過程中勢必會存在難度，無形中也會加大教師的教學難度。幾何證明題中，邏輯思維、表述能力要求較高，因此在幾何知識體系學習中幾何證明題是學習中的一個難點。很多學生在做幾何證明時，由于無法對抽象的幾何圖形等進行想象，往往認為幾何證明題很難做，進而心中對幾何產生恐懼。另外幾何證明題中要求學生具有一定的作圖能力，但由于學生不會看圖，無法根據題意想出作圖方法，因此在遇到證明題時往往無從下手。由此可知在幾何眾多知識點中，證明題是學生學習中的一個難點，同時也是學習的重點。但幾何證明題解題時是有一定技巧的，如果學生能夠掌握到這些解題技巧，則就能掌握證明題的解題思路，從而不再懼怕證明題。如下是以兩線相等、兩角相等、兩直線垂直、兩直線平行等幾種常見的證明題型為例對其解題技巧進行了分析。

2.1證明兩線相等

證明兩線相等是初中幾何中經常出現的一個證明題類型，而兩線相等證明方法很多，總結如下：

（1）利用兩個全等三角形中對應邊相等進行證明；

（2）利用同一個三角形中等角對等便進行證明；

（3）利用等腰三角形中底邊高平分底邊或其平分線進行證明；

（4）利用平行四邊形對邊或對角線被交點分成的兩段相等進行證明；

（5）利用直角三角形中斜邊重點到三個定點距離相等進行證明；

（6）利用線段垂直平分線上任意一點到線段兩端距離相等進行證明；

（7）利用角平分線上任意一點到角兩邊距離相等進行證明；

（8）利用同圓中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等進行證明；

（9）利用兩圓內外公切線長度相等進行證明。

如下例利用的是兩個全等三角形中對應邊相等這一技巧進行證明的。

例1：已知圓的圓心為O，K、N位于圓上，滿足如下條件：KD⊥IJ，NM⊥IJ，KO⊥ON，求證：KD=ON。

證明：作GH⊥IJ，連接ON。因為I、N、K、J都位于圓上則有∠GMH=∠ONG，可以得出△GHM∽△GNO，從而得到OM/GM=GO/GH=KO/KD，根據KO=ON，可以得到KD=ON。

2.2證明兩角相等

兩角相等證明方法有：

（1）利用兩個全等三角形對應角相等進行證明；

（2）利用同一三角形中等邊對等角進行證明；

（3）利用等腰三角形中底邊高平分頂角進行證明；

（4）利用兩條平行線同位角、內錯角相等進行證明；

（5）利用同角的余角相等進行證明。

例2：如圖在四邊形FKPO中，FK=OP，C、B兩點分別是FP、KO的中點，KF，BC的延長線交于BA于E點，PO于A點。求證∠FEC=∠A。

證明：連接KP兩點，并取KP中點G點，所以有 ∠GBA=∠A，∠GBC=∠FEC和∠GBC=∠GCB。從而得到∠FEC=∠A。

2.3證明兩直線垂直

兩直線垂直證明方法有：

（1）利用等腰三角形頂角平分線或底邊中線垂直于底邊進行證明；

（2）利用三角形中兩角互余則第三角為直角進行證明；

（3）利用鄰補角平分線互相垂直進行證明；

（4）利用兩條直線相交成直角則兩直線垂直進行證明。

例3，已知正方形AKCD，過點A做直線交于KD于E點，交CD于F點，H點是FB的中點，求EC⊥CH。證明：因為正方形AKDC所以有∠AKD=∠CKD，有△AEK∽△EKC，因此有∠KEA=∠KEC。又因H是FB中點所以有∠HCB=∠B，因為∠

KEC+∠HCB=∠KAB+∠B=90。。因此∠ECH=90。，即EC⊥CH

2.4證明兩直線平行

兩直線平行證明方法有：

（1）利用垂直于同一直線的各直線平行進行證明；

（2）利用同位角或內錯角相等的兩直線平行進行證明；

（3）利用平行四邊形對邊平行進行證明；

（4）利用平行于同一直線的兩直線平行進行證明。

例4：已知FC平分∠AFD，點B在AD上，點G在FD的延長線上，直線AF和GB交于E點，同時∠FEG=∠G，求證FC//GB。

證明：因為FC平分∠AFD，所以有∠AFC=∠CFD，∠FEG=∠G，又因∠G+∠GEF=∠AFD，所以∠G=∠CFD。因此有GB//FC。

2.5其它證明

除了以上幾種證明題型外，其他證明如線段的和差倍分、角的和差倍分、線段不等、兩角不等等，這些證明題在解題過程中也涉及到多種解題技巧，教師應對這些解題技巧進行總結，讓學生全面掌握各種證明題的解題技巧。

3總結

證明題是初中幾何內容中的一個重點，也是一個難點，教師和學生在幾何知識學習過程中應對其引起足夠的重視。證明題在解題時并不是只有一種解題方法，可以幾何理論為基礎采取多種方法進行解題，因此教師在幾何證明題講解時應對其解題方法進行總結，要求學生對此進行理解和記憶，熟練掌握多種證明題的解題思路和技巧，提高證明題的解題能力，從而不再懼怕證明題，提高學生幾何學習的簡易程度，進而提高學生幾何學習成績。

參考文獻：

[1]沈宇華.中學數學幾何題解題的技巧及學生思維能力的培養[J].高考（綜合版），2013（1）：108.

[2]張建剛.初中幾何證明應指導學生練好三項基本功[J].考試周刊，2013（70）：53-54.

[3]林麗紅.初中幾何證明題解題技巧探析[J].中國培訓， 2015（7）：214.