例談數學練習課設計要關注知識的內在本質

李丕英

數學是從自然現象和社會現象中抽象出來的數量規律，每個數學知識中蘊含著其內在的本質。隨著《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“新課標”）和中央關于學生核心素養的提出，數學課堂教學更注重用學生的能力和數學素養的培養。數學練習課的設計除了關注對知識的進一步鞏固和能力的培養，也要關注數學思想法方法的培養。設計練習中，教師們一改以前過度追求“表面文章”，片面地認為場面越熱鬧，課就越精彩、越成功的現象，更注重務實的課堂。以前的練習課很單純，是無意義的習題的演算，這樣的過程是無助于提高學生思維能力和培養數學思想法的。“數學是思維的體操”，練習課的設計時教師要抓緊數學知識的內在本質，要問“數學知識本質抓住了沒有？學生的思維提升了沒有？學生的數學素養得到培養了沒有？學生真正獲得發展了沒有？” 在進行練習設計時，教師要緊緊抓住數學知識的內在本質，才能最大限度地發揮練習的效度和作用，提高數學學習的能力和數學思維能力。練習設計不能只注重練習形式，更應該關注數學內容的內在本質。

一、練習內容和形式設計要突顯本質

練習是一種有目的、有計劃、有步驟、有指導的教學訓練活動，是學生掌握知識、形成技能、發展智力、培養能力、養成良好學習習慣的重要手段；也是教師了解學生學習情況從而進行課堂教學的有效調節，形式多樣的練習不僅能更好地鞏固所知識、培養技能，同時能提高學生練習的興趣，發展學生的思維能力。但是不能只注重練習的形式，練習課既有各種操作題、判斷題、改錯題，又有匹配題、選擇題、自編題，還出現了游戲題和思考題，但是練習設計不能只注意形式，更多的應該注意數學的內容本質。數學本質是指具體數學內容的本真意義，教師設計練習時需要層層深入地挖掘背后的數學知識和數學規律，深入了解數學知識本質屬性，以及統攝具體數學知識與技能的數學思想方法。如在教“小數加減法”練習設計時，有一位教師設計這樣的一個練習：先出示加法豎式中的一個加數，另一加數用動畫小汽車出示，先是出示5.23，把0.7放在小卡車上，開到了5.23的下面，讓學生觀察等0.7到合適的位置就喊停，學生很專注地看著0.7隨著小卡車移動到與5.23的小數點對齊的位置，所有學生不約而同地喊“停”。當出現“12+0.43”時，帶著0.43的小卡車在學生不斷的喊停中過去了，全體學生不約而同的“哎呀”地大叫了一聲。教師問：“12這個數沒有小數點，怎么對齊呢？”這引起了學生的思考，練習內容恰如其分地反映了小數點對齊實質是數位對齊，教師用生動的有趣的練習形式讓學生投入了學習中，最重要的是教師在這個過程中，抓住了知識的內在本質，讓學生體會到從整數到小數的擴展，認識到加減法本質意義上都是相同的，都是相同數位對齊。又如，設計“倍數的認識”練習時，出示一長一短兩張小紙條，讓學生說長紙條的長度是短紙條的幾倍，淡化了紙條表示的實際長度，學生想出了用重疊對比的方法，長紙條中含有幾個這樣長度的短紙條就是它的幾倍。教師的這個內容的設計突顯出大的量中包含有幾個小的量就是倍數概念的本質。對數學本質的理解與把握決定了一個數學教師的教學觀和教學效果，因為有什么樣的價值觀就有什么樣的行為方式，有什么樣的行為方式就有什么樣的行動結果。

二、深入挖掘教材，進行設計練習

對數學本質的認識同時在設計練習課時，教師仔細揣摩練習題每道題的設計意圖，把握其中蘊含的知識本質，最大限度地發揮好練習題的作用。如張齊華老師在教學“對數的確定位置”時，對于教材中的練習他讓學生說出了圖中動物所在位置后，如小狗在哪里，（4，5）的動物是哪一只，完成了這些練習后，教師不止步于此，再追問，如果小貓在（99，99）會在哪里？當然這個數對不在書本所畫的網格內，讓學生擴展到用二維空間表示一個平面的某一點的位置，平面是無限大的，學生體會到這一點，書本上只是出現了其中的一部分，當然還可以擴展。接著教師再把題目擴展為，先給出沒有坐標的網格圖和幾個數對位，讓學生思考起點在哪里，怎樣確定橫豎的坐標。又如，教學五年級“三角形三邊關系”，書中的練習題，判斷下面的三邊能否圍成三角形，為什么。很多教師只滿足于用三邊關系的特點“兩邊之和大于第三邊”判斷是否大于第三邊，但是有一位教師進一步地挖掘，如2，3，8不能圍成三角形，將2改成幾就能圍成呢？學生會說出可以改成5，6，7，8，9，10，在哪個范圍內？為什么不能改成11？讓學生體會不是所有長度的三邊都能圍成三角形。數學練習課不是一味地做題，而是要多研究習題，挖掘習題的內涵和外延。教師用好題目，利用好題的價值，挖掘練習題中所體現的數學知識的內在本質，這樣才能使學生更好地鞏固知識，構建知識的體系。

三、練習設計關注學生思維的提升

在日常的練習中，教師們會發現，當一般的思維方法為學生所掌握，當解決的問題永遠是學生熟悉的形式時，學生就會自然而然地形成一種思維定勢，需要教師有意識地創設提升思維的練習題，從提升學生數學思考能力的角度考慮，設置一些“拐點”，來打破思維定勢。有教師在設計平均數的練習題時，出示1，2，3，4，5，6，7，8，9，讓學生選擇三張，使平均數是4，學生最有可能選擇3，4，5，或2，4，6。教師再深入提出選擇三張，使平均數是4，但不允許用4，則還有1，2，9和2，3，7。再增加兩張使平均數還是4，出的兩張平均數也是4的。學生通過移多補少的方式，在做中體會平均數的內在意義。通過訓練，打破了學生的思維定勢，提高了學生思維的靈活性，這對學生的發展是大有益處的。除了在思維定勢處設置“拐點”，還要善于在拓展延伸處設置“發散點”。如“長方形和正方形面積”設計練習“能畫出面積為16平方厘米的長方形或正方形嗎？”讓學生畫一畫，看看它們的長和寬分別是多少，先讓學生估一估哪一個圖形的周長大，并計算驗證猜想。通過這種發展性練習，體會面積的意義，同時區分面積和周長的含義，從對比中發現規律，發現面積相同的長方形當長和寬相同時，周長最短。在練習課的練習設計中，可在基礎練習之后設計一些思維含量更大的綜合發展題，如一題多解、一題多變等，這樣可以拓展學生的思維空間，培養學生的創新思維和發散思維，使學生的思維得到有效的提升。

倘若文科的學習是“讀而知之”，那么數學的學習就是“思而知之”。沒有了思維的靈動，數學學習就失去了它原有的價值和意義。作為新時代的數學教師，我們必須獨具慧眼和睿智，摒棄數學課堂教學中所有非本質的因素，緊緊拽住“思維”這一根準繩，運用切實有效的教學方式和手段，引領學生的思維從具體走向抽象，從無序走向有序，從膚淺走向深入，使學生在數學課堂的探究旅程中收獲無限風光，感受思維碰撞中的激情涌動。

四、練習設計關注數學基本思想

新課標進一步要求關注數學思想，以知識為載體，滲透數學思想。新課標中“四基”體現為掌握數學基礎知識、訓練數學基本技能、領悟數學基本思想、積累數學基本活動經驗。史寧中教授指出：“‘基本思想主要是指演繹和歸納，這應當是整個數學教學的主線，是最上位的思想。” 小學階段涉及的數學思想方法，比如分類、轉化、歸納、數形結合、數學建模、猜想、符號化、方程與函數、極限等數學思想方法，在練習課不僅要抓本質鞏固構建數學知識體系，同時也要關注數學知識中所滲透的數學思想。如在一節平面圖形面積練習課中，教師設計了一個這樣的練習：說說為什么三角形面積要在平行四邊形面積的基礎上除以2，是因為把兩個同樣的三角形拼組先轉化成平行四邊形，先算出平行四邊形的面積，再得出三角形的面積，滲透了轉化的思想。同樣，梯形也是拼組轉化成平行四邊形，同時，三角形也能看作上底為0的梯形，可見圖形之間是可以相互轉換的。

又如，在教立體圖形體積時，學生能夠很快算出長方體和正方體的體積，那么如果不是長方體和正方形體，如下面這樣的鐵塊的體積，你會怎樣算呢？

有些學生想到會不會也是用底面積乘以高呢？還有學生想到了可以把它熔鑄成一個長方體再計算，還有學生想到把這個鐵塊放在裝有水的長方體內，水就會升高，升高部分水的體積就是鐵塊的體積。轉化思想是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，而其本身的大小是不變的。在滲透轉化思想的同時，還可以滲透建模思想和創新意識。

又如，在教學《倍的認識》后的一個練習中，出示一道算式：12÷3，說說這個算式的意義，12是3的幾倍，你能不能畫圖表示出12是3的幾倍？學生可以用實物圖，可以用線段等，進一步體會一個數是另一個數的幾倍的概念，建立模型，同時在這個過程中滲透數形結合的思想。

在數學課堂的教學中，深挖數學知識的本質，利用多種形式的方法呈現，注重學習過程中體現出的數學思想方法，因為數學教學中，數學思想方法是數學的精髓所在，要培養數學素養就要在教學中關注數學的思想方法的滲透，數學思想方法的滲透有如 “隨風潛入夜，潤物細無聲”，學生在這個過程中領會和掌握，這樣練習課不僅能提高學生發現問題、解決問題的能力，又能進一步優化思想，提高學生的數學素養。數學練習課是知識進一步鞏固、能力進一步提升的契機，教師設計練習時要做一個有心人，緊緊抓住知識的內在本質和內在聯系，關注知識的內涵和外延，用知識作為“軀體”，思想作為“靈魂”，關注學生知識和技能的掌握，更要關注學生的思維能力，在練習設計結合知識點，正確認識數學本質，把握數學本質，才能發揮練習的最大效度。

參考文獻：

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[4] 劉振亮.數學練習課有效教學模式的 探究[J].學周刊，2011（22）.

（作者單位：廣東省廣州市越秀區東風西路小學）