一道橢圓典型習題的教學實錄與感悟

胡科杰

[摘要]在橢圓中點弦問題的教學中，如果聯立方程組，往往計算比較煩瑣，本節課堂實錄通過引導學生尋找利用合理的方法，教會學生自主探究，動手實踐，合作交流，用問題探究的方式讓學生親歷知識的發現的過程，體現學生思維的多樣性，培養學生的創新意識，激發學生自動探究數學的興趣，達到自主學習數學的目的。

[關鍵詞]橢圓習題實錄感悟合作交流

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼]A

[文章編號]1674-6058（2016）32-0015

在講授橢圓幾何性質時，我選了一道習題讓學生在課前思考，然后在課堂上講解，教學過程有點偏離了預設的軌道，但整個課堂鮮活靈動，是一個有效生成的課堂，我從中也收獲了很多。

師：非常好！把橢圓問題用圓來處理了，這種方法通過坐標的伸縮變換，巧妙地把橢圓中的弦中點問題轉化為圓中的弦中點問題，利用圓的垂徑定理，使問題迅速解決，但是要注意經過伸縮變化后，原坐標下的點也要相應轉化，還有其他方法嗎？

生8：用幾何畫板畫圖，從圖中直接得出直線AB與x軸的交點為D，且點D關于直線PQ與原點0對稱，所以點D的坐標為（8，0），結合點P（4，2）得到直線AB的方程為x+2y-8=0。

師：生8觀察很敏銳，看到了對稱性，如果是客觀題的話非常好，不過這種方法需要畫出比較精確的圖示，我們再仔細觀察一下，還有其他方法嗎？可以對照所求直線的方程來看，

生9：（0，3）（6，0）這兩點的連線與所求的直線是平行的，

師：我們能不能利用觀察所得的結論把問題解決呢？誰來試一試？

生10：設橢圓與坐標軸正方向的交點分別為L，M，作直線LM，交直線OP于Q根據題意，得直線LM的方程為y=-0.5x+3，直線OP的方程為y=0，5x，聯立上述方程解得x=3，y-1.5，得到Q坐標為（3，1.5），而L（0，3），M（6，0），這樣點Q正好是線段LM的中點，于是就有了一條與直線LM平行的直線與橢圓的兩個交點關于這條直線與直線OP的交點對稱，即有過點P且與直線LM平行的直線交橢圓的線段被點P平分，從而得到所求直線的斜率為-O.5，有點斜式直線方程得到所求的直線方程為y-2=-0.5（x-4），即x+2y-8=0。

師：厲害！你是怎么得到有過點P且與直線LM平行的直線交橢圓的線段被點P平分的？能否證明一下？是不是對任意的橢圓都會有這樣的一個結論呢？如果存在，你能證明嗎？請同學們課后思考。

師：下面我來簡單小結一下。

（1）生1的解法是通法，對橢圓適用，對其他圓錐曲線也是適用的，我們要掌握、理解這樣的通法。

（2）要積極運用基礎知識，同學們給出這么多的解法都來源于牢固的基礎知識，生6的類比思想，生8的猜想，用合情推理來解決問題，這是同學們良好基礎知識融會貫通的體現。

（3）解題時要注意條件的限制，一定要檢驗。

二、教學感悟

第一，對于中點弦問題，我們要理解并掌握它的通法，更應深入理解通法的利弊，其最大的弊端是運算量較大，為了突破這一難點，要讓學生探究是否還有其他方法來解決，通過學生自主探究，動手實踐，合作交流，加上教師的適當引導，打開了學生的思路，激發了學生學習數學的興趣，培養了學生自主學習、積極探索的能力，這與新課標倡導的積極主動、勇于探索的學習方式是相吻合的，同時讓學生先思考后交流，允許他們發問、質疑、交流、合作，達到共同發現好的方法或者一致性的結論，學生暫時不能發現的，教師予以適當點撥，讓學生領悟到解題的思路和策略，培養學生分析問題和解決問題的能力，增強學生學習數學的信心。

第二，本題是橢圓的中點弦問題，學習橢圓之前，學生已經全面學習了圓的知識，橢圓中點弦問題可以類比成圓的中點弦問題，聯系之前學會的坐標的伸縮變換，把橢圓轉化為圓，利用圓的知識來解決會比較容易，既降低了解題的難度，又拓展了學生的解題思路。

第三，當題目解法比較多時，首先要掌握通法，這是解決圓錐曲線中點弦問題的基本方法，要熟練應用這種基本方法，其次，要運用解題技巧，如“設而不求”“點差法”“巧用對稱”“利用類比聯想”等，提高解題效率，提升解題能力，最后，要學會總結、歸納、反思，各種方法要擇優選用，解完題后要認真總結解題步驟，認真反思不同的方法和應注意的問題及如解法規律、運算規律、涉及的相關知識、數學思想及哪些地方容易忽視等，解完題后也要總結一下解法中簡化運算的技巧，這樣才能真正在教學中真正落實“授人以魚，不如授人以漁”，充分體現“以學生為主體，以教師為主導”“全面提升學生數學素養”的教學理念。

第四，當學生的想法出乎教師的意料時，教師要有較強的應變能力和足夠的耐心，決不能輕易地否定學生的想法，要善于從學生的思路中找出其合理部分，從而設法將“預設性課堂”變成“生成性課堂”，并抓住學生思路中的合理部分，引導學生展開探究，進一步完善問題的解法。