飛機結構表面涂層的熱應力拓撲優化

王明慶

飛機結構表面涂層的熱應力拓撲優化

王明慶

（中國商用飛機有限責任公司上海飛機設計研究院，上海201210）

飛機結構表面涂層與機體結構零件之間的熱膨脹系數的失配引起的殘余應力影響著涂層的機械和物理性能。使用拓撲優化方法設計涂層和零件之間適當的界面形式，使整個結構的總應變能達到最小。優化結果可為不同尺寸零件

的涂層設計提供參考。

飛機；表面涂層；熱應力；拓撲優化

熱應力是影響飛機結構表面涂層性能的一個重要因素。由于晶格常數的失配和熱膨脹系數的失配，在涂層與結構界面處存在著殘余應力。這些應力將導致涂層的裂紋、位錯及其他類型的損傷，這些損傷對涂層的物理性能具有顯著的影響。

飛機結構表面涂層與機體結構零件可以整體看作涂層/基底結構。目前已存在若干種減小涂層/基底結構中的殘余應力的技術，如使用緩沖層、應變平衡法等。但是如果使用緩沖層，就必須引入另一種材料，這可能對整個結構的物理性質產生其他方面的影響。應變平衡法適合多層涂層問題，即具有兩層以上涂層的結構，而對于雙層結構則是無效的。

本文給出了另一種獲得低應力涂層/基底結構的方法，即使用拓撲優化方法[1-4]來設計界面形式，使整個結構的總應變能最小化。該方法的優點在于其對涂層的層數和厚度沒有限制，并且易于擴展以解決其他種類的殘余應力問題。

1 理論推導

考慮圖1中的涂層/基底結構，假設涂層和基底的材料分別為材料1和材料2，由于兩種材料之間的熱膨脹系數的失配，該結構中將存在熱應力，這將導致裂紋、位錯和其它損壞。為了減少應變能，可以重新設計界面處的材料分布。在該問題中，需假設頂層和底層分別固定為材料1和材料2，僅對界面附近的中間層的材料分布進行重新設計。

圖1 涂層/基底結構的拓撲優化

為了進行優化過程，假設設計區域中的每個點都由材料1和材料2組成，并用x來表示材料1的體積分數，則（1-x）是材料2的體積分數。這種混合物的材料參數可以通過具有懲罰值的固體各向同性材料[1]給出，

其中，E是楊氏模量，α是熱膨脹系數。在優化過程中，x可以具有0和1之間的任意值，即在設計區域中將存在灰色區域。但實際上想得到絕對的0-1分布，因為在實際結構中，每個點不是材料1就是材料2.為此，可以引入等式（1）和（2）中的懲罰值p和q.經驗表明，如果選擇p>3，通常可以得到0-1分布的優化設計。

使涂層/基底結構的熱應變能最小化的公式可以寫為[5]

其中，Ft是由熱膨脹引起的力。Vmin和Vmax并且分別是材料1的最小體積分數和最大體積分數。Ft可以用離散形式表示為：

其中B是應變位移矩陣。總應變能Φ及其靈敏度分析可以推導如下

Φ還可以用以下等效形式表示：

其中εe=（ε-εt）是可以產生應力的彈性應變，ε=sym（▽u）是總應變，εt是由溫度變化引起的應變。當使用目標函數（5）和（6）時，結果是相同的。因此在以下推導過程中只使用方程（5）作為目標函數。為了獲得應變能Φ的靈敏度，使用平衡方程KU-Ft=0進行以下計算：

從而得到應變能的靈敏度為

2 數值計算

在本節中，給出一些示例，并嘗試獲得可以最小化飛機表面涂層結構的熱應變能的設計。涂層和基底的厚度分別為1 mm和4.3 mm.涂層的直徑是一個變量，以便將結果與涂層的厚度與直徑的不同比率進行比較。

首先優化半徑為20 mm的涂層。界面區域的初始密度設置為均勻分布。圖2顯示了優化設計的最終結果。可以看出，優化的界面在中心區域是一個平面，而在邊緣處，涂層厚度逐漸增加，基底的厚度逐漸降低。該優化結構的總應變能比平直界面的結構減小了7%.

圖2 直徑20mm的優化結果

進一步的計算表明，如果增加涂層半徑，邊緣處的非平面面積將減小。當半徑遠大于厚度時，該區域可以忽略。圖3是半徑250 mm的涂層的優化結果。可以看到，在這種情況下，最優界面是一個平面。因此，當涂層厚度與半徑相當時，可以得出結論，最佳界面不是平面。而當涂層厚度遠小于半徑時，最佳界面為平面。

圖3 直徑250mm的優化結果(p=3，q=1/4)

3 結論

本文使用拓撲優化算法分析了由熱膨脹系數的失配引起熱應變的涂層/基底結構。通過數值計算，發現如果涂層厚度遠小于半徑，最佳界面是一個平面。而如果厚度與半徑相當，則最佳界面在中心區域是平面，而在邊緣區域，涂層的厚度逐漸增加，而基底的厚度逐漸降低。該優化結果的意義在于，對于橫向尺寸較小的零件（例如螺釘、銷軸等），可按本文提供的方法進行端頭外形的設計，以降低表面涂層的殘余應力，增加涂層的整體性能及使用壽命。

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[4]M.P.Bendsφe，O.Sigmund，Material interpolations intop ology optimization[J].Archive of Applied Mechanics，1999，69（9）：635-654.

[5]O.Sigmund，On the design of compliant mechanismsusing topology optimization[J].Mechanics Based Designof Struc tures and Machines，1997，25（4）：493-524.

Topology Optimization of Aircraft Surface Coating With Thermal Stress

WANG Ming-qing
（Shanghai Aircraft Design&Research Institute，Commercial Aircraft Corporation of China，Shanghai 201210，China）

The residual stress caused by the mismatch of thermal expansion coefficient between the surface coating and the structural parts of the aircraft affects the mechanical and physical properties of the coating. Topology optimization method is used to design the appropriate interface between the coating and the parts to minimize the total strain energy of the whole structure.The optimization results can provide reference for the coating design of different size parts.

aircraft；surface coating；thermal stress；topology optimization

O343.6

A

1672-545X（2017）02-0131-02

2016-11-23

王明慶（1985-），男，上海人，碩士研究生，工程師，主要從事飛行器結構設計工作。