數學模型在概率教學中的應用研究

鄭思蘋

一、前言

隨著經濟的發展和社會的進步，我國在教學的過程中越來越重視教學的思想方法和思維方式在教學中的應用研究。而又因為概率論是我國數學課程中應用性相對較強的一門課程，并且是成人高考數學以及高職高考數學中必不可少的內容，因此傳統的教學方法或者是教學思想已經不能適應我國當前數學教學的培養模式。在這種情況下，不少學者開始關注數學模型在概率教學過程中的應用，因為這不僅可以激發學生學習概率統計的興趣，而且還會將抽象的問題具體化，從而優化概率統計的教學效果。因此，本文的研究重點就是分析數學模型在我國概率統計教學過程中的實際應用和現實意義，并加強對提升數學模型這種教學模式在概率教學過程中的比重的策略研究，為最大限度地提升概率教學的教學質量提供支持。

二、數學模型內涵

實際上，目前還沒有專門的組織或者是學者對數學模型的內涵進行統一的規定，因此數學模型的內涵在不同的國家和不同的學者眼中都是不一樣的。本文所提出的數學模型的內涵主要為：它是“運用數理邏輯方法和數學語言建構的科學或工程模型”。從這個定義中我們就可以知道，數學模型就是通過建構某種模型的形式，將生活中的實際問題和數學工具聯系起來的一種溝通性工具。數學模型將所有的問題都歸結為某種形式的數學問題，因此其實質上就是某種數學結構表達式，只不過有時候它的表現形式是多種多樣的，如圖表、等式及不等式等。

在了解了數學模型的內涵的基礎上，我們還要掌握數學模型的分類，以便我們在面對不同的實際問題時，可以選擇合適的數學模型處理問題。其實，按照不同的標準進行劃分的話，數學模型可以分為不同的種類。在這里，我們簡單地介紹數學模型的幾種常用類型。按照數學模型中系統各量之間關系是否會隨著時間的變化而變化，我們可以將數學模型分為靜態數學模型和動態數學模型。靜態數學模型就是指系統各量之間的關系不會隨著時間的變化而變化，動態數學模型則相反。按照數學模型中變量間的關系確定與否，我們可以將數學模型分為隨機性數學模型和確定性數學模型。隨機性數學模型就是指變量間的關系是不確定的，確定性數學模型變量間的關系則是確定的。此外，還有連續時間數學模型和離散時間數學模型、參數數學模型與非參數數學模型等等。但是，需要注意的問題是，我們必須要掌握如何建模，這樣才有利于我們用數學模型的方式來解決實際生活中存在的難題。在解決不同的問題的時候，建立的數學模型可能都是不同的，但是基本的建模步驟還是相似的，即準備建模階段——假設模型階段——構建模型階段——求解模型階段——分析模型階段——驗證模型階段——應用模型階段。

綜上所述，數學模型實際上就是要人們對現實中存在的問題進行一定的觀察和反思，再利用其掌握的數學知識，抽象出來一個數學模型，從而用于解決實際問題的一種數學技術。

三、數學模型在概率教學中應用的必要性

通過上面對數學模型的內涵的分析，我們已經掌握到數學模型對我們解決現實中存在的問題有著重要的理論意義和實踐意義。而由于概率本身的研究對象就是隨機事件，再加上我國概率教學的發展現狀，因此將數學模型的教學思想融入到概率教學中，就有著很強的現實意義。

（一）概率教學的現狀

通過對概率教學的現狀進行一定的研究，我們可以發現，雖然我國在概率教學中不斷提倡教學模式和教學思想的變革，但是在具體的落實過程中，還存在著落實不到位的現象。此外，由于傳統的應試教育體制的影響，教師和學生對概率教學的認知和重視程度上還存在著一定的問題，最終導致我國概率教學的教學效果不佳。下面我們將具體從三方面分析我國概率教學的發展現狀。

1.學生的學習熱情不夠高

通過一定的調查以及筆者多年的實踐教學，我們發現，不少學生在學習概率時的積極性不夠。這主要是因為：第一，教師教學方式單一，學生感覺數學課堂枯燥乏味。與其他課程相比，數學課本來就是邏輯性、思維性、抽象性相對較強的學科，再加上教師一般采用的是“填鴨式教學”的教學方式，在這種情形下，學生難免會產生厭學的心理；第二，教學內容與學生的日常生活聯系不緊密。通常情況下，教師在進行概率教學時，選擇的例子都是課本上的例子，而這些例子有時候和學生的日常生活是沒有聯系的。這樣一來，學生的關注度和興趣度就會從認真聽課轉移到其他內容上；第三，現代化技術運用程度不夠。隨著科學技術的發展，現在學生更多地接觸到了現代化的技術。這也就是說，他們的注意力更容易被那些動態的畫面所吸引，可是不少教師還是采用板書的教學形式，這樣學生很難將注意力集中在教師的教學內容上。

2.教師的綜合素養不夠高

第一，教師的教育理念的影響。受到傳統的教育體制的影響，教師在實際的教學過程中，也往往將目光關注到學生的學習成績上，因此容易在教學過程中出現急功近利的現象，從而容易出現重理論、輕實踐或者是迷信題海戰術等思想的影響，更多地在課堂中教授的內容就是解題的套路或者是應對策略，而不重視數學思想在數學實際教學過程中的應用。第二，教師教學設計的不合理。由于概率在考試中所占比重較低，因此教師安排在概率教學上的課時是非常有限的，這樣一方面會給學生概率不重要的誤導，另一方面由于學生學習概率的時間較短，必然對概率相關的知識掌握不牢固。第三，教師思維僵化的影響。教師在實際教學過程中，一般是按照自己的教學理念或者是教學方式進行教學，因此對什么樣的教學理念或者是教學方式才是適合學生的可能并不是特別了解，這對教師的實際教學效果也有著很大的影響。

3.概率教學效果不理想

在學生學習的熱情不夠高和教師的綜合素養不夠高的情況下，概率實際教學的教學效果必然就會不理想。因為，良好的教學效果不僅僅是需要教師能夠樹立正確的教育思想或者是教育理念，從而采取相對更能提高教學效果的教學手段或者是教學模式，更重要的是學生對教師所講授的內容感興趣，因為“興趣才是最好的老師”。當學生對某一件事情或者是教師講授的內容感興趣的時候，無論這個內容是容易學還是不容易學，他們都會積極對這個內容進行學習，甚至可能會犧牲業余休息的時間，更不用說課堂上的學習時間了。這樣的話，他們對這項內容的學習效果就是十分明顯的，教師的教學效果也就體現出來的。反之，則相反。

數學模型在概率教學中的應用研究

（二）數學模型在概率教學中應用的現實意義

通過上面對數學模型和概率教學的教學現狀進行一定的分析，我們可以發現，由于概率教學本身就是一件十分抽象的教學，因此將抽象而簡潔的數學模型應用到概率教學的過程中，可以在很大程度上將抽象的問題具體化，從而激發學生的學習興趣，最終提升概率教學的教學效果。

1.有助于激發學生的學習興趣

我們知道，雖然概率統計在數學課本中所占的比重不大，但是其內容對我們解決實際的生活問題有著十分重要的意義。所以說，加強對概率統計的學習就有著十分重要的現實意義。但是由于教師的教學方式和教學手段，因此提不起學生對學習概率的積極性。但是，通過將相對簡潔的數學模型融入到概率教學的教學過程中，容易讓學生比較直觀地接觸到概率統計的知識，這樣一方面有利于調動起學生學習概率統計的興趣，另一方面對提升學生的學習成績也是有益的。

2.將抽象的問題具體化

在上面我們分析數學模型的內涵中，我們知道，數學模型就是用數字、字母或者是其他形式將抽象的數學理論進行相對直觀、明晰的表達。具體到概率統計的教學內容中，我們可以用數學模型將原有的相對抽象的概率內容進行直觀的表達，加強學生對概率統計這種抽象理論知識的形象性的了解，從而將抽象的問題具體化，提高教師概率教學的教學效果和學生概率學習的學習效果。

3.優化教學效果

教師將數學模型融入到概率教學的教學過程中，不僅有利于增加學生對概率學習的學習興趣，而且在一定程度上還會優化概率的教學效果。因為，我們在對教師進行教學評價的時候，不僅是對教師的教學效果進行評價，而且也會對教師的教學行為或者是教學過程進行評價。而將數學模型融入到概率教學的教學過程中，不僅表明了教師的教學模式發生了一定的變化，而且還說明教師的教學理念發生了變化。長此以往，教學效果的進一步優化就成為必然。

四、數學模型在概率教學中的實際應用

上面我們分析了數學模型在概率教學中的實際意義，認識到數學模型對提升概率教學的實際教學效果很有必要。下面我們將通過具體的案例來對數學模型是如何在概率教學中起到作用的進行一定的分析，使我們更加清晰地認識到數學模型對概率教學的意義。

（一）會面問題

假設胡同學和李同學約定在圖書館于10：00-12：00見面，先到達的人在等30min后就可以離去。假設他們可以在約定的兩個小時內任意達到。那胡同學和李同學能見面嗎？

在這個問題中，我們可以假設10點為計算時刻的0點，x，y分別表示胡同學和李同學到達的時刻，單位為min。此時，樣本空間Ω={（x，y）丨0≤x≤120，0≤y≤120}，假設事件A{兩人能見面}，則A={（x，y）∈Ω丨丨x-y丨≤30}，因此他們能見面的概率為：

P（A）=S（A）S（Ω）=1202-9021202=0.4375

所以，他們能見面的概率為0.4375，不能見面的概率為0.5625。

（二）抽簽活動

假設甲、乙、丙三位同學抽簽，在10個簽子中有四個是難題，按照甲乙丙的順序抽簽考試，這種考試形式或次序公平嗎？

在這個問題中，我們可以假設A=甲抽到難題，B=乙抽到難題，C=丙抽到難題。

那么，P（A）=C14C110=0.4

P（B）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|B）

=C14C110·C13C19+C16C110·C14C19

=0.4

P（C）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=C14C110·C13C19·C12C18+C15C110·C14C19·C13C18+C14C110·C16C19·C13C18+C16C110·C15C19·C14C18

=0.4

所以，這種考試形式是公平的。

五、促進數學模型在概率教學中實踐價值最大化的建議

上面我們分析了數學模型在概率教學中的實際應用和現實意義，說明了數學模型對優化概率教學的實際教學效果有著十分顯著的意義。因此，接下來我們將具體概述促使數學模型在概率教學中實踐價值最大化的建議，從而為提升數學模型在概率教學中的實際效果提出切實可行的策略。

（一）更新既有的概率教學觀念

在上面的介紹中，我們發現，無論是學生學習概率的學習興趣提不起來，還是概率教學的教學效率不理想，都和教師的概率教學觀念密不可分。因此，如果我們想要提升概率教學的實際教學效果，教師就必須對其原有的概率教學觀念進行一定的變革，不僅要重視數學思想在概率教學中的作用，而且其教學模式也要進行一定的變革，更多地激發起學生主動學習、自主學習的積極性。

（二）融入情境化教學模式

概率統計的實際應用性是很多教師在教學過程中容易忽視的問題，這對概率教學的教學效果也有著十分明顯的影響。因此，要增強概率教學的教學效果，教師在實際的教學過程中，就必須將課本上的知識和學生實際生活中遇到的問題聯系起來，在增強概率應用意識的基礎上，調動學生學習概率知識的積極性，最終提升概率教學的教學效果。

（三）加強對典型案例的分析和剖析

由于概率統計的抽象性，在一定程度上加劇了學生理解和應用概率知識的難度。在這種情況下，想要增強概率教學的實際效果，教師就必須在概率的教學過程中加入一些典型性、應用性較強的案例，這樣一方面有利于學生理解概率的相關知識，另一方面也有利于提升學生利用概率知識解決實際問題的能力。此外，這些案例并不是隨便加的，而是需要具有一定的可操作性、可重復性等特點，便于學生理解和進行具體實驗。

（四）加強對現代化教學技術的應用程度

隨著科學技術的發展，信息技術在數學課堂上的應用程度也不斷擴大。而又由于概率教學的抽象性，因此教師在教授概率統計的相關內容時，可以借助計算機或者是其他形式的信息技術，使概率統計可以通過一種直觀、形象的形式顯示出來，不僅可以將教師從傳統的教學方式中解放出來，而且也可以在降低學生學習概率統計相關知識時的枯燥乏味的基礎上，提升學生學習概率統計的興趣，從而提升概率教學的實際教學效果。

（五）構建高素質的人才隊伍

受到傳統的教育體制的影響，雖然我國一直強調要對教師的教學理念和教學模式進行一定的變革，但是其變革的力度和變革后的執行力度的大小都還是一個未知數。再加上，概率統計的內容會隨著時代的變化而發生十分深刻的變化，因此教師需要做到以下幾點，從而提升自身的綜合素質，滿足概率教學的需求。第一，教師要樹立適宜的教育理念。隨著經濟的發展，傳統的教育理念已經不能滿足學生的需求，因此教師的教育理念就要發生相應的變化，從而適應時代的需求。第二，教師要采用科學、合理的教學方式。教師作為教學活動的引導者，只有其采用科學、合理的教學方式，才能提升教師的教學效果和學生的學習效果。具體到概率教學中，由于概率知識在實際生活中的應用范圍越來越廣泛，因此我們不僅要對學生進行概率知識的理論教學，還要增強學生用概率知識解決實際問題的能力的培養。

（六）堅持“以生為本”的教學原則

隨著教學改革的不斷進行，傳統的“以師為本”的教學原則不斷發生動搖，當前越來越重視“以生為本”。在上面我們對概率教學的現狀進行分析的過程中，我們發現，教師在概率教學的實際教學過程中，處于一個絕對主導的地位。在這種情形下，不僅學生學習的積極性和主動性調動不起來，而且也不利于教師依據學生的需求進行教學活動的變革，在某種程度上可能會加劇教師和學生之間的對立。想要增強概率教學的實際效果，就需要我們樹立“以生為本”的教學原則，尊重學生在學習活動中的主體地位，同時注重學生在學習過程中的實踐反饋，幫助教師更多地采取學生能夠接受的教學方式和教學理念進行教學，從而將抽象的概率知識轉化成學生感興趣的教學形式，最終提高概率的教學效果。

六、結語

通過對數學模型在概率教學中的應用研究，我們不僅對概率教學的發展現狀進行了研究，尤其是對其中存在的問題及原因進行了一定的探究。在此基礎上，我們以數學模型為切入點，加強了對提升數學模型在概率教學中的比重的策略研究，而這對于提升數學模型在概率教學中應用有著重要的理論意義和實踐意義。

責任編輯朱守鋰